Normen einer Diagonalmatrix

19.04.2015, 14:56

Ronan

Normen einer Diagonalmatrix

Hallo! Ich bin mir nicht sicher, ob ich diese Aufgabe richtig gelöst habe oder nicht, also wäre es super, wenn mir irgendjemand helfen könnte!

Die Aufgabe war: Sei D=diag( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 , ..., $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2) eine Diagonalmatrix im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ . Man berechne $\begin{eqnarray*} ||D||_2, ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$ , wenn man D als Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{n^2} = \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ betrachtet. Weiters berechne man die Abbildungsnorm von D als Element von $\begin{eqnarray*} L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ vorne und hinten mit der $\begin{eqnarray*} ||.||_2 \end{eqnarray*}$ -Norm versieht.

$\begin{eqnarray*} ||D||_2 = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n^2} |d_i|^2 } = \sqrt{ \sum_{i=1}^{n} | \lambda _i|^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||D||_{\infty}=\max_{1 \leq i \leq n^2} |d_i| = \max_{1 \leq i \leq n^2} | \lambda _i| \end{eqnarray*}$

Und für das 2.:

$\begin{eqnarray*} ||D||=\sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_2 =1} ||D_x||_2 = \sup || \begin{pmatrix} \lambda_1 x_1 \\ | \\ \lambda_n x_n \end{pmatrix} ||_2 = \sup \sqrt{ \sum_{i=1}^n \lambda_i x_i ^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||D|| \geq ||D*e_j||_2 = \sqrt{ \sum_{i=1}^n | \lambda_i * e_{ij} |^2 } = |\lambda_j |<br /> \rightarrow ||D|| \geq \max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j | = ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||D||=\sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_2 =1} \sqrt{ \sum_{i=1}^n \lambda_j x_i ^2 } \leq \sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_2 =1} \sqrt{ \sum_{i=1}^n \max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j |^2 * |x_i | ^2 } = \sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_2 =1} \sqrt{ \max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j |^2 * \sum_{i=1}^n |x_i | ^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 1* \sqrt{\max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j |^2} = \max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j | = ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||D|| \leq ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||D||=||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

Könnte mir also bitte jemand sagen, ob das so stimmt (oder falls es falsch ist, was ich anders machen sollte) ?

Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu vermeiden. (Guppi12)

19.04.2015, 17:29

Guppi12

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Hallo,

der erste Teil ist soweit bis auf einen Schreibfehler richtig. Bei der Supremumsnorm müsste hinter dem zweiten Gleichheitszeichen der Laufindex nur bis $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gehen.

Zum 2. Teil. Da schreibst du ja zunächst mal die Norm von D etwas um. In der letzten Darstellung davon fehlt aber entweder eine Klammer oder ein Quadrat bei den Lambdas.
Das gleiche hast du auch später nochmal. Man sollte sich an die üblichen Klammerkonventionen halten und dort gehört halt eine hin.

Bei dem Teil, wo du $\begin{eqnarray*} \lVert D\rVert \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzt, würde ich statt $\begin{eqnarray*} e_{ij} \end{eqnarray*}$ eher $\begin{eqnarray*} (e_j)_i \end{eqnarray*}$ oder auch einfach $\begin{eqnarray*} \delta_{ij} \end{eqnarray*}$ für das Kronecker-Delta schreiben. Idee aber richtig.

Der Rest ist richtig.

19.04.2015, 18:27

Ronan

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Danke!

20.04.2015, 13:39

Ronan

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Ich bin draufgekommen, dass es noch eine Unteraufgabe dazu gibt! Könnte mir bitte irgendwer sagen, ob meine Lösung eh stimmt?

Sei D=diag( $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 1 , ..., $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ 2) eine Diagonalmatrix im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^{nxn} \end{eqnarray*}$ .

Man berechne die Abbildungsnorm von D als Element von $\begin{eqnarray*} L(\mathbb{R}^n , \mathbb{R}^n) \end{eqnarray*}$ , wenn man $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ vorne und hinten mit der $\begin{eqnarray*} ||.||_{\infty} \end{eqnarray*}$ -Norm versieht.

Meine Lösung:

$\begin{eqnarray*} ||D||=sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_{\infty}=1} ||D_x||_{\infty} = sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||_{\infty}=1} max_{1 \leq i \leq n} | \lambda_i * x_i | \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||D|| \geq ||D* e_j ||_{\infty} = || \begin{pmatrix} d_{1j} \\ | \\ d_{nj} \end{pmatrix} ||_{\infty} = max_{1 \leq i \leq n} |d_{ij} |= | \lambda_j | \rightarrow ||D|| \geq max_{1 \leq j \leq n} | \lambda_j | = ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ||D|| = sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||{\infty}=1} max_{1 \leq i \leq n} | \lambda_i * x_i | \leq sup_{x \in \mathbb{R}^n, ||x||{\infty}=1} ( max_{1 \leq i \leq n} | \lambda_i | * max_{1 \leq i \leq n} | x_i | ) = max_{1 \leq i \leq n} | \lambda_i | = ||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \rightarrow ||D||=||D||_{\infty} \end{eqnarray*}$

20.04.2015, 13:47

Guppi12

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Zitat:

Könnte mir bitte irgendwer sagen, ob meine Lösung eh stimmt?

Der war gut: Deine Lösung stimmt eh! Augenzwinkern

(Ok, hab sie mir dann doch mal angesehen) :

Diesmal kann ich trotz richtigem Ergebnis den Teil mit der Abschätzung nach unten nicht nachvollziehen. Das liegt aber wahrscheinlich wieder an deiner Bezeichnungsweise. Wenn du sowas wie $\begin{eqnarray*} d_{ij} \end{eqnarray*}$ verwendest und das nicht wie üblich die Einträge von $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ sind (falls doch, wäre dein Beweis falsch), dann musst du das einführen!

20.04.2015, 17:17

Ronan

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Ok, danke! smile

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