Geometrische Summenformel, Grenzwert

19.04.2015, 15:15

Amele

Geometrische Summenformel, Grenzwert

Meine Frage:
Hey guten Sonntag!

Zu $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ sei die Folge $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} s_n := 1+z+z^2 + ... + z^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie die Gültigkeit der sogenannten geometrischen Summenformel
$\begin{eqnarray*} s_n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$
und bestimmen sie ggf. den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich weiß nicht genau wie ich das zeigen soll.

Also ich habe meine Folge mit $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n \in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ und diese muss gleich dem erwähnten Bruch sein also:

mit $\begin{eqnarray*} s_n := 1+z+z^2 + ... + z^n = \frac{1-z^{n+1}}{1-z} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir den Grenzwert angucke, (des Bruchs) dann ist der Exponent des Zähler größer als der des Nenners.
Ich habe gelesen, dass man Grenzwert gut mit Ausklammern der höchsten Potenz bestimmt? Aber wie mache ich das dann klammere ich im Zähler z hoch n+1 jeweils im Zähler und Nenner aus?

Nun solche Beweise gehen mit vollständiger Induktion, aber das haben wir letztes Semester nur kurz angeschnitten.

Ich wäre für ein Feedback und Hilfe sehr dankbar!

LG Amelie

19.04.2015, 15:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Amele
Zu $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus \lbrace 0 \rbrace \end{eqnarray*}$ sei ...

Steht da nicht eher $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus \lbrace 1 \rbrace \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

19.04.2015, 15:48

Amele

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Hey. Nene also es ist schon so, siehe Bild mhm.

[attach]37775[/attach]

LG Amelie

19.04.2015, 15:54

Amele

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Zitat:

Original von HAL 9000
Steht da nicht eher $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb C \setminus \lbrace 1 \rbrace \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

Ja natürlich 1, sry hab mir was falsches zusammengereimt :Hammer:
Es darf ja nicht durch Null geteilt werden, daher ohne 1.

Aber wie soll ich das Problem lösen?

LG Amelie

19.04.2015, 21:52

mYthos

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RE: geometrische Summenformel Grenzwert
$\begin{eqnarray*} s_n := 1+z+z^2 + ... + z^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

z ist der Quotient der geometrischen Folge/Reihe.
Je nachdem, ob z kleiner oder größer als 1 ist, gibt es einen Grenzwert der Reihensumme oder nicht.
Allerdings muss zuerst die Summenformel bekannt bzw. bewiesen sein, bevor du dich an die Grenzwertberechnung machen kannst.

$\begin{eqnarray*} s_n \cdot z = z+z^2 + ... + z^n + z^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = 1+z+z^2 + ... + z^n \end{eqnarray*}$
_______________________________________

Subtrahiere die beiden Gleichungen und stelle danach nach $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ um, und schon ergibt sich die gesuchte Formel.

Wie sieht es nun mit dem Grenzwert aus? Welche Summe ergibt sich daraus für die unendliche geometrische Reihe?

mY+

20.04.2015, 09:02

Amele

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RE: geometrische Summenformel Grenzwert

Zitat:

Original von mYthos
$\begin{eqnarray*} s_n := 1+z+z^2 + ... + z^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (n \in \mathbb N) \end{eqnarray*}$

z ist der Quotient der geometrischen Folge/Reihe.

Also das z im Nenner? Nehme ich an.

Zitat:

Original von mYthos
Allerdings muss zuerst die Summenformel bekannt bzw. bewiesen sein, bevor du dich an die Grenzwertberechnung machen kannst.

$\begin{eqnarray*} s_n \cdot z = z+z^2 + ... + z^n + z^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} s_n = 1+z+z^2 + ... + z^n \end{eqnarray*}$

Subtrahiere die beiden Gleichungen und stelle danach nach $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ um, und schon ergibt sich die gesuchte Formel.

Erste Gleichung ist ja einfach mit z multipliziert.
Subtrahiere, aber was von was ich mach's mal so:

$\begin{eqnarray*} s_n \cdot z - s_n = s_n \cdot (z-1) = (1+z+z^2 + ... + z^n) \cdot (z-1) \end{eqnarray*}$

Und nun? verwirrt

Zitat:

Original von mYthos
Wie sieht es nun mit dem Grenzwert aus? Welche Summe ergibt sich daraus für die unendliche geometrische Reihe?

Das ist eine gute Frage. Betrachten sollte man die Exponenten. der des Zählers ist ja höher als der des Nenners, also kann es nicht gegen Null gehen, aber ich bin mir da noch nicht sicher in der Materie unglücklich

LG Amelie

20.04.2015, 09:23

klarsoweit

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RE: geometrische Summenformel Grenzwert

Zitat:

Original von Amele

Zitat:

Schreibe nur $\begin{eqnarray*} s_n \cdot z - s_n = s_n \cdot (z-1) \end{eqnarray*}$ und setze auf der linken Seite die Summen ein. Siehe Beitrag von mYthos.
(Ich frage mich nur, warum man das nicht mit vollständiger Induktion macht.)

20.04.2015, 10:30

mYthos

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Subtrahieren sollst du eine Gleichung (die untere) von der anderen (der oberen), es würde auch umgekehrt gehen, dann fallen rechts nämlich sämtliche Summanden weg, ausser $\begin{eqnarray*} z^{n+1} \end{eqnarray*}$ in der ersten und $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ in der zweiten.
Links steht dann $\begin{eqnarray*} s_n \cdot (z-1) \end{eqnarray*}$ , somit ist für $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ lediglich noch zu dividieren.

Bei diesem (klassischen) Beweis muss man die Formel a priori nicht kennen, währenddessen beim Induktionsbeweis diese naturgemäß bereits einzusetzen ist.

Zum Grenzwert:
Untersuche in der eben erhaltenen Summenformel die beiden Fälle |z| < 1 und |z| > 1
Im ersten Fall geht die Potenz gegen Null (daraus folgt eine vereinfachte Formel für die Summe der unendlichen geometrischen Reihe), im zweiten über alle Grenzen ...
Wann also existiert ein Grenzwert der Summe und wie lautet er?

mY+

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