Problem bei Aufg. zu "Lineare Abh. im Skalarproduktraum

19.04.2015, 13:47

cyrrad

Problem bei Aufg. zu "Lineare Abh. im Skalarproduktraum

Meine Frage:
Guten Tag,
ich tue mich etwas schwer an folgender Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , < ·, · > ein Skalarproduktraum uber $\begin{eqnarray*} \mathbb K = \mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_0 \in V \end{eqnarray*}$ fest. Man betrachte $\begin{eqnarray*} f_i<br /> : V \Rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_1(v) := <v,v_0> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(v) := <v_0, v> \end{eqnarray*}$
Unter welchen Bedingungen an $\begin{eqnarray*} v_0 ist f_i<br /> , i = 1, 2 \end{eqnarray*}$ , eine lineare Abbildung?

(Gemeint ist das Standardskalarprodukt mit $\begin{eqnarray*} <\vec{u}, \vec{v}> := \sum\limits_{i=1}^{n} u_i \cdot \overline{v_i} \end{eqnarray*}$ )

Meine Ideen:

Mein Problem ist nun - Ich habe als Bedingung für die lineare Abhängigkeit angesetzt: $\begin{eqnarray*} (x_v + iy_v) = \alpha ]<x_v + iy_v , x_{v0} + iy_{v0} > \end{eqnarray*}$

Als ob ich nicht da schon ein komisches Gefühl im Bauch gehabt habe, was die Richtigkeit des Lösungsweges betrifft, habe ich jeweils ein $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ für sowohl $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ raus bekommen. Damit habe ich aber nach obiger Aufgabenstellung keine wirkliche Bedingung an das $\begin{eqnarray*} v_0 \end{eqnarray*}$ gestellt, was mir mehr als rätselhaft vorkam...

Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich bei dieser Aufgabe "sicherer" an die Lösung komme? Oder habe ich bereits Fehler im Ansatz gemacht?

Ich danke schon mal im vorraus und wünsche einen entspannten Rest-Sonntag Wink

19.04.2015, 14:04

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ , < ·, · > ein Skalarproduktraum

Zitat:

Gemeint ist das Standardskalarproduk

Diese Aussagen beissen sich. Entweder ist es ein beliebiger Skalarproduktraum oder es ist ein spezieller.

Zitat:

Ich habe als Bedingung für die lineare Abhängigkeit angesetzt:

Zum Einen ist es nicht entzifferbar was du hier angesetzt hast, zum anderen:
Es geht hier nicht um lineare Abhängigkeit.
Es geht um lineare Abbildungen.

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