Induktionsbeweis Aufgabe

19.04.2015, 17:20	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Aufgabe Meine Frage: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n} \leq 1+(2^{n}-1)a \end{eqnarray}$ Beweise, dass die Formel für alle n der natürlichen Zahlen gilt, mit $\begin{eqnarray} 0\leq a\leq 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* n+1: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n+1} \leq 1+(2^{n+1}-1)a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+a)^{n}(1+a) \leq 1+(2^{n+1}-1)a \end{eqnarray}$ -> Induktionsvorraussetzung benutzen, also würde ich folgendermaßen weitermachen: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n}(1+a) \leq (1+(2^{n}-1)a)(1+a) \end{eqnarray}$ Stimmt dieser Ansatz? Dann müsste ich die rechte Seite ja jetzt zu $\begin{eqnarray} \leq 1+(2^{n+1}-1)a \end{eqnarray}$ umformen, oder? Falls das der richtige weg ist, hänge ich aber dann hier: $\begin{eqnarray} (1+a)^{n}(1+a) \leq (1+a(2^{n}+2na -a) \end{eqnarray*}$ Bin ich auf dem richtigen Weg, ist mein Ansatz falsch, oder habe ich mich nur verechnet. Falls mein letzter Schritt noch stimmt, weiß ich auch nicht, wie ich an diesem weitermachen soll. Danke für eure Hilfe schonmal
19.04.2015, 18:08	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis Aufgabe möglicherweise geht´s so weiter $\begin{eqnarray} (1+a)\cdot(1+(2^n-1)\cdot a)=1+2^n\cdot a+a^2\cdot (2^n-1)\leq 1+2^n\cdot a +a\cdot(2^n-1)=... \end{eqnarray}$
19.04.2015, 18:28	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis Aufgabe Dann ist das der nächste Schritt, oder? $\begin{eqnarray} a(2^{n}-1+2^{n})+1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a(22^{n}-1)+1 \end{eqnarray*}$ Aber hier weiß ich aber schon nicht mehr weiter.
19.04.2015, 19:03	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Fassen wir mal zusammen: Du willst die Induktionsbehauptung $\begin{align} (1+a)^{n+1} \leq 1+(2^{n+1}-1)\cdot a\qquad () \end{align}$ nachweisen, bist jetzt (mit Werners Hilfe) bei $\begin{align} (1+a)^{n+1} \leq 1+(2\cdot 2^{n}-1)\cdot a\qquad (*) \end{align}$ angelangt und "weißt nicht weiter" ? Dann wirf nochmal einen langen gründlichen Blick auf () und (*), vielleicht revidierst du dann deine all zu eilige Kapitulation. Falls nicht, dann musst du wohl in der Schule gefehlt haben, als die Potenzgesetze besprochen wurden.
19.04.2015, 19:13	Sirius93	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, also das ist mir jetzt irgendwie peinlich... Ich hab es echt nicht gesehen, ich saß vorhin aber auch zu lange daran... Die Potenztgesetze sitzen bei mir eigentlich schon^^ Danke für eure Hilfe

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