Charakterisierung Limes superior

19.04.2015, 19:12	doeters	Auf diesen Beitrag antworten »
Charakterisierung Limes superior Meine Frage: Hallo, es gibt ja folgende Charakterisierung des Limes superior: Sei $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Folge reeller Zahlen und $\begin{eqnarray} a\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . Genau dann gilt $\begin{eqnarray} \limsup_{n\to\infty}=a \end{eqnarray}$ , wenn für jedes $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind: i) Für fast alle Indizes $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} a_n<a+\varepsilon \end{eqnarray}$ . ii) Es gibt unendlich viele Indizes $\begin{eqnarray} m\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_m > a-\varepsilon \end{eqnarray}$ . --- Meine Frage: Kann man den Limes superior auch durch Bedingungen i') und ii') charakterisieren, in denen $\begin{eqnarray} a_n\leq a+\varepsilon \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} a_m\geq a-\varepsilon \end{eqnarray}$ vorkommen? Meine Ideen: Leider habe ich noch keine Ideen.
19.04.2015, 19:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ja, das geht. Du kannst dir leicht überlegen, dass eine Folge, die die bekannte Charakterisierung erfüllt, auch deine erfüllt. Dass das auch umgekehrt geht, siehst du mit einem Übergang von $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ zu $\begin{eqnarray} \epsilon /2 \end{eqnarray}$ .
19.04.2015, 19:22	doeters	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke, dass aus der gegebenen Charakterisierung "meine" folgt, ist einfach, weil z.B. aus $\begin{eqnarray} > \end{eqnarray}$ sofort $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ folgt, oder?
19.04.2015, 19:26	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
19.04.2015, 19:33	doeters	Auf diesen Beitrag antworten »
Die andere Richtung ist mir aber noch nicht so ganz klar. Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon >0 \end{eqnarray}$ . Nach meiner Char. gibts unendlich viele m, sodass $\begin{eqnarray} a_m\geq a-\varepsilon \end{eqnarray}$ . Wieso gibts dann auch unendlich viele m, sodass $\begin{eqnarray} a_m>a-\varepsilon \end{eqnarray}$ ? Wie meinst du das zu e/2 übergehen?
19.04.2015, 19:35	doeters	Auf diesen Beitrag antworten »
achso, dann gilt das n.V. auch $\begin{eqnarray} a_m\geq a-(e/2)) \end{eqnarray}$ . und deswegen unendlich viele m sodass a_m > a-epsilon
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19.04.2015, 19:36	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Sehr schön

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