Isomorphie einer QuotientengruppexQuotient zur Gruppe selbst? |
| 19.04.2015, 20:23 | Lilah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Isomorphie einer QuotientengruppexQuotient zur Gruppe selbst? Hallo, ich versuche gerade einen größeren Beweis zu verstehen bzw die letzte Schlussfoldergung davon. Wenn ich alles bis zu dem Punkt richtig verstanden habe, bin ich nur bei dem folgenden unsicher (vereinfacht): G Gruppe, U Untergruppe davon, so dass G/U Quotientengruppe ist. Ist dann ? Denke ich da gerade zu einfach oder stimmt das so im Allgemeinen? (Bzw brauch man dafür irgendwelche Bedingungen an G oder U)? Wenn nicht, gibt es ähnliche Aussagen? Meine Ideen: Elemente in G haben ja die Form g=r.u, [latex] u\in U [\latex], so dass [latex] g\equiv r \ \ mod U [\latex]. Dann wäre [latex] g \mapsto (r,u) [\latex] die Abbildung. |
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| 19.04.2015, 21:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo,
Nein. Dazu müsste allein schon isomorph zu einer Untergruppe von G sein, was im allgemeinen nicht der Fall ist. Die Bedingung für die Isomorphie wäre z.B.: - das semi-direkte Produkt von G/U und U ist isomorph zu G und - das Produkt ist direkt. |
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| 19.04.2015, 22:07 | Lilah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Danke erstmal!
In dem Beweis ist G/U isomorph zu einer Untergruppe von G, ich hab es nur nicht erwähnt, da ich dachte, dass es nicht relevant für diese Aussage ist. Vllt stelle ich auch die falsche Frage und der Beweisschritt liegt ganz woanders... daher nochmal mein Problem umformuliet: Ich habe eine Gruppe G mit Untergruppe U und eine Gruppe H mit Untergruppe V (Ich weiß ebenfalls, dass G/U bzw H/V Gruppen sind). Ich habe gezeigt, dass G/U isomorph zu H/V ist und dass U isomorph zu H ist. Wie kann ich daraus folgern, dass G isomorph zu H ist? |
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| 19.04.2015, 22:32 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Gar nicht: ist ein Gegenbeipiel. (ist die zyklische gruppe der Ordnung n) |
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| 19.04.2015, 23:00 | Lilah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hm.. ich dachte das ginge allgemein, aber ok dann offensichtlich nicht. Was bräuchte man denn noch, damit man das so folgern könnte? Weil zumindest wird in dem Beweis, den ich hier vorliegen hab, diese Folgerung gemacht. (Das ganze ist ein riesiger und relativ spezieller Beweis zu speziellen Gruppen, daher kann es halt sein, dass die einzelnen Gruppen spezielle Eigenschaften haben, die dies ermöglichen. Ich weiß halt nur nicht, nach welchen Eigenschaften ich da gucken muss.) |
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| 19.04.2015, 23:06 | Lilah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Vllt ist das noch wichtig: Ich weiß, dass es einen Homomorphismus von G nach H gibt, der jeweils eingeschränkt auf G/U bzw U die oben genannten Isomorphien liefert. |
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| 19.04.2015, 23:13 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Mir ist keine alles erschlagende Aussage in diesem Kontext (was auch immer auch genau ist) bekannt. Und ich hab ganz ehrlich auch keine sonderliche Lust zu raten worum es eigentlich wirklich geht.
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| 19.04.2015, 23:37 | Lilah | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das war blöd formuliert von mir. (Bzw unüberlegt von einer vereinfachten Darstellung im Buch abgeschrieben. ) Gemeint ist, dass für den Isomorphismus von G/U nach H/V dieselbe Abbildungsvorschrift wie für den Homomorphismus genommen,, aber jeweils mit den Restklassen gearbeitet wird. |
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| 19.04.2015, 23:49 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Für welchen Homorphismus? Das ist wieder so halbgar wiedergegeben, dass ich nichts damit anfangen kann (und steht mit ziemlicher Sicherheit auch so nicht im Text.) Quellenangabe wär evtl. noch 'be Idee. Aber beim Rumraten bin ich endgültig raus. |
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