Bei Trigonalisierbarkeit obere Dreiecksmatrix finden

20.04.2015, 12:47

möchtegern15

Bei Trigonalisierbarkeit obere Dreiecksmatrix finden

Meine Frage:
Also, hier seht ihr die Aufgabe. Meine Frage bezieht sich eher auf den zweiten Teil diese obere Dreiecksmatrix zu finden. Wie findet man sie und wenn man sie dann hat, wie kommt man dann auf die Matrix S uns S^-1, weil das ja dann zwei Unbekannte Matrizen sind...

Meine Ideen:
Zunächst zur Richtigkeit des ersten Teils der Aufgabe: Da habe ich das charakteristische Polynom berechnet, also:
$\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I_{n}) \end{eqnarray*}$ und bin darauf gekommen: $\begin{eqnarray*} -\lambda ^{3} + 3\lambda ^{2} -34\lambda \end{eqnarray*}$
und es heißt ja eine Matrix ist genau dann trigonalisierbar, wenn das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.... und ich glaube dafür muss man die Nullstellen berechnen, oder? Da kommt bei mir nur n=0 raus. Und an dieser Stelle komme ich nicht ganz weiter. Das heißt wie zerfällt das charakteristische Polynom jetzt genau?

So und jetzt muss man diese obere Dreiecksmatrix R finden. Auf der Diagonalen stehen ja die Eigenwerte, also die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, bei dem nach meiner Rechnung nur 0 rausgekommen ist... und wie macht man weiter?

Ich freue mich wirklich über Antworten. LG!!

20.04.2015, 15:43

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Das heißt wie zerfällt das charakteristische Polynom jetzt genau?

Da du nur eine Nullstelle hast: Gar nicht.

Dein char. Pol. ist falsch.

Ein möglicher Weg zu trigonalisieren findet sich z.B. im Wikipedia-Artikel dazu oder sicherlich auch in euren Skript.
Oder man jordanisiert hier gleich. (darauf läuft es im Wesentlichen raus, und das ist i.d.R. ein bekannter und geübter Algorithmus)

20.04.2015, 18:44

möchtegern15

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Danke für deine Antwort,

aber das charakteristische Polynom berechnet sich doch schon so, oder? :

$\begin{eqnarray*} 0=det(\lambda I_{3} - A)=\begin{vmatrix} \lambda -2 & 1 & 1 \\ -20 & \lambda +5 & -10 \\ 16 & 3 & \lambda -8 \end{vmatrix} = \left(\lambda -2\right)\left(\lambda +5\right)\left(\lambda -8\right) + \left(-10\cdot 16\right)+\left(-20\cdot 3\right) -16\cdot \left(\lambda +5\right) -\left(3\cdot -10\cdot \left(\lambda -2\right) \right) - \left(\lambda -8\right) \cdot \left(-20\right) \end{eqnarray*}$

weil da kommt bei mir diesmal schon wieder was glaube ich falsches raus, nämlich: $\begin{eqnarray*} 0=\lambda ^{3} -5\lambda +10\lambda +150 \end{eqnarray*}$

Vor allem weiß ich in diesem Fall nicht, wie ich ohne Taschenrechner, die Nullstellen berechnen kann. Dabei eine Nullstelle zu erraten ist nicht so offensichtlich um dann Polynomdivision anzuwenden und die pq Formel kann ich ja auch nicht benutzen...

Und zu dieser Matrix R... gibt es da unterschiedliche mögliche Matrizen oder ist die eindeutig?

20.04.2015, 19:11

Captain Kirk

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Zitat:

aber das charakteristische Polynom berechnet sich doch schon so, oder? :

Prinzipieel ja, wobei imho $\begin{eqnarray*} det(A-\lambda I) \end{eqnarray*}$ geschickter zum Rechnen ist -wegen der ganzen Vorzeichen. (alle außerhalb der Diagonale)
Das ist bei dir ja auch das Problem nach dem zweiten = sind etliche Vorzeichen falsch.

Zitat:

gibt es da unterschiedliche mögliche Matrizen oder ist die eindeutig?

Ersteres

20.04.2015, 19:41

möchtegern15

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Jaa, wie konnte ich das nur übersehen... haha naja.

Ist das Polynom jetzt wenigstens richtig? $\begin{eqnarray*} -\lambda ^{3} +5\lambda^{2} +34\lambda =0 \end{eqnarray*}$
Einmal kommt ja auf jeden Fall Null als Nullstelle heraus, aber nach der pq Formel sind die restlichen Nullstellen ziemlich schräg..

20.04.2015, 19:53

Captain Kirk

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Zitat:

Ist das Polynom jetzt wenigstens richtig?

Nein.
Wenn du deine Ergebnisse überprüfen willst, nutz wolfram-alpha.

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