Alle stetigen reellwertigen Funktionen (Norm)

20.04.2015, 15:03

Destrain

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Alle stetigen reellwertigen Funktionen (Norm)

Die Aufgabe:

Man betrachte $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ , die Menge aller stetigen reellwertigen Funktionen auf [a,b] und versehe diese mit $\begin{eqnarray*} ||f||_1 := \int_a^b |f(t) dt. \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist erstmals, dass $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ eine Norm ist. Dort habe ich alles bis darauf, dass es sicherlich >0 für alle x ungleich 0 ist. Es scheint klar zu sein, dass nur das Integral von 0 gleich 0 ist, doch wie zeige ich dies am Besten?

Dann soll ich eine Cauchy-Folge angeben, welche in C_b nicht konvergiert. Im Hinweis steht, dass: o.B.d.A. sei a=-1, b=1. Approximieren Sie sgn(x) geeignet durch eine Folge stetiger Funktionen. Ich habe

$\begin{eqnarray*} f_n= x^(1/n) \end{eqnarray*}$ genommen, was auf C_b nicht konvergiert, bin mir aber nicht sicher ob das dem Hinweis befolgt. Gibt es eine bessere Möglichkeit?

20.04.2015, 15:31

IfindU

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RE: Alle stetigen reellwertigen Funktionen (Norm)
Die Definitheit folgt aus der Stetigkeit der Funktion. Ist eine Funktion nicht 0, so ist sie ungleich 0 an mindestens einer Stelle. Mit der Stetigkeit ist sie ungleich 0 in einem ganzen Intervall. Das liefert dann eine untere Schranke an das Integral und damit die Aussage.

Dein Gegenbeispiel (mit geeigneter Wahl von a und b) gefällt mir sogar besser als das im Hinweis vorgeschlagene.

20.04.2015, 15:35

Guppi12

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Zitat:

Dein Gegenbeispiel (mit geeigneter Wahl von a und b) gefällt mir sogar besser als das im Hinweis vorgeschlagene.

Wenn mich nicht alles täuscht, ist das aber kein Gegenbeispiel, weil die Funkionenfolge halt eben doch konvergent ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

(Hab jetzt mal a=0, b=1) zugrunde gelegt.

20.04.2015, 15:36

IfindU

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Sie konvergiert punktweise, in L^1, aber nicht gleichmäßig. Genau das war ja gesucht.

20.04.2015, 15:37

Guppi12

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Es geht ja nicht um punktweise Konvergenz, sondern um Konvergenz in der Norm von $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ . Dort konvergiert sie gegen $\begin{eqnarray*} \chi_{[0,1]} \end{eqnarray*}$

20.04.2015, 15:40

IfindU

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Sie konvergiert ja nicht einmal punktweise dagegen. Siehe $\begin{eqnarray*} 0^{1/n} \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Und selbst wenn man die 0 rausnimmt, konvergiert sie nicht gleichmäßig...

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20.04.2015, 15:41

Guppi12

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Natürlich konvergiert sie nicht punktweise gegen diese Funktion. Das muss sie aber auch garnicht, um in der Norm von Cb zu konvergieren. Der punktweise Grenzwert und der Grenzwert in $\begin{eqnarray*} C_b \end{eqnarray*}$ sind hier halt nicht gleich.

20.04.2015, 15:46

IfindU

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...Tut mir Leid. Gerade noch einmal nachgesehen, und C_b ist dort in der Zeile nicht mit der Supremumsnorm ausgestattet. Habe ich leider als "Cauchyfolge bzgl. Integralnorm impliziert nicht Cauchyfolge bzgl. C_b--Norm" gelesen.

20.04.2015, 17:54

Destrain

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Oh nein! Dann brauche ich etwas anderes.

Ich habe es jetzt mit $\begin{eqnarray*} x^{\frac{1}{2n+1} } \end{eqnarray*}$ versucht...

$\begin{eqnarray*} f_n(x)= x^{\frac{1}{2n+1} } \end{eqnarray*}$ auf [-1,1]

$\begin{eqnarray*} f_n(x) \end{eqnarray*}$ konvergiert bezüglich $\begin{eqnarray*} ||.||_1 \end{eqnarray*}$ gegen sgn(x)

$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 |sgn(x) - x^{ {1}{2n+1} } | dx = 2* \int_{0}^1 |sgn(x) - x^{ {1}{2n+1} } | dx = 2* \int_{0}^1 (1 - x^{ {1}{2n+1} } ) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =2* (x- \frac{2n+1}{2n+2} * x^{ \frac{2n+2}{2n+1} } |_0^1 = 2* (1- \frac{2n+1}{2n+2} --- (n-> \infty)---> 0 \end{eqnarray*}$

Das würde gehen, oder?

Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu verhindern. (Guppi12)

20.04.2015, 20:01

RavenOnJ

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Nimm doch einfach
$\begin{align*} f(x)_n:=\begin{cases}-1\text{ für }x \le -\frac 1 n\\ nx \text{ für } -\frac 1 n < x \le \frac 1 n\\ 1\text{ für }x > \frac 1 n\end{cases} \end{align*}$

Dies ist eine Cauchy-Folge in der $\begin{align*} \|.\|_1 \end{align*}$ -Norm und konvergiert gegen Signum(x).

21.04.2015, 09:42

Destrain

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Danke! Muss ich dann noch zeigen, dass es wirklich gegen sgn(x) konvergiert? Wie würde das gehen?

21.04.2015, 10:00

Destrain

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Ich meine, mir ist klar, dass ich zeigen muss, dass $\begin{eqnarray*} |x_n -x || ->0, \end{eqnarray*}$

also dass $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1 (x_n -x) dx=0 \end{eqnarray*}$ ist, aber wie mache ich das, wenn die Funktion an verschiedenen Stellen verschieden definiert ist?

21.04.2015, 10:02

Destrain

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Also eigentlich $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty} \int_{-1}^1 (x_n -sgn(x)) dx=0 \end{eqnarray*}$

21.04.2015, 10:10

Destrain

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Vielleicht so?

x $\begin{eqnarray*} \leq - \frac{1}{n} : \int_{-1}^1 (1-1)= \int_{-1}^1 0 =0 \end{eqnarray*}$

x $\begin{eqnarray*} \geq \frac{1}{n} : \int_{-1}^1 (1-1)= \int_{-1}^1 0 =0 \end{eqnarray*}$

21.04.2015, 10:16

Destrain

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Bei -1/n \leq x \leq 0 funktioniert es dann aber nicht wirklich.

$\begin{eqnarray*} \int_{-1/n}^0 n*x dx = (nx^2)/2 -x |_{-1/n}^0 = 0-1/2n -1/n \end{eqnarray*}$

Hab ich da irgendwas falsch gemacht?

21.04.2015, 10:30

Destrain

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0-1/2n -1/n geht aber natürlich bei n -> \infty gegen 0. Also sollte es stimmen.

Ist das so richtig?

21.04.2015, 11:12

IfindU

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Sauberer
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 | sgn(x) - f_n(x)| = \int_{-1}^{-\frac 1 n} | sgn(x) - f_n(x)| + \int_{-\frac 1 n}^{0} | sgn(x) - f_n(x)| + \int_{0}^{\frac 1 n} | sgn(x) - f_n(x)| + \int_{\frac 1 n}^1 | sgn(x) - f_n(x)| \end{eqnarray*}$ .

Jetzt kann man alle Definitionen der Funktionen (und deine Teilrechnungen) einsetzen und erhält
$\begin{eqnarray*} \int_{-1}^1 | sgn(x) - f_n(x)| = 2 \int_{0}^{\frac 1 n} | 1 - f_n(x)| = 2 \int_{0}^{\frac 1 n} (1 - nx) \end{eqnarray*}$ . Das sauber integriert liefert dann sofort, dass die rechte (und damit linke) Seite eine Nullfolge bildet.

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