Inhomogene lineare DGL mit Winkelfunktionen

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20.04.2015, 22:04	maier5	Auf diesen Beitrag antworten »
Inhomogene lineare DGL mit Winkelfunktionen Meine Frage: Hallo, folgende Aufgabe Bestimmen sie die allgemeinen Lösungen der folgenden DGL: $\begin{eqnarray} cos(x) y(x) + sin(x) * y'(x)= e^{x} x\in \left(0,pi\right) \end{eqnarray}$ bin in diesem Gebiet noch unerfahren, also ich würde wiefolgt vorgehen: 1)die allgemeine homogene Lösung bestimmen 2)die partikuläre Lösung bestimmen 3)summe der allgemeinen homogenen Lösungen und part. Lösungen ergibt die allgemeine Lösung zu 1) $\begin{eqnarray} cos(x)y+sin(x)(dy/dx)= 0 <br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} cos(x)y=-sin(x)dy/dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{-cos(x)}{sin(x)} dx=1/y dy \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow -ln(\sin(x) )+ C = ln\|y\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \Rightarrow y= e^{-sin(x)+C}= \frac{e^{C}}{e^{-sin(x)} } \end{eqnarray}$ somit ist die homogene Lösung gleich $\begin{eqnarray} y_{H}= C_{1} \frac{e^{C}}{e^{-sin(x)} } \end{eqnarray}$ ??? und was passiert dann mit meiner integrationskonstante C? MfG Meine Ideen:*
20.04.2015, 22:30	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Inhomogene lineare DGL mit Winkelfunktionen Der Weg stimmt (Variation der Konstanten) $\begin{eqnarray} y_{h} =\frac{C}{\sin(x) } \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} -ln\|sin(x)\| +C= ln\|y\| \end{eqnarray}$ stimmt. das Minus vor dem ln wird gemäß Log. gesetz als Exponent geschrieben. Dann wird die ganze Gleichung e hoch genommen. -> $\begin{eqnarray} \frac{1}{\sin(x) } e^{c} =y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{c} =C \end{eqnarray*}$ folgt das oben angegebene Ergebnis für y_h. PS: die Integrationskonstante wird nur auf einer Seite geschrieben, welche ist egal. Man kann die 2 Konstanten rechts und links zu einer zusammen fassen.
21.04.2015, 12:31	maier5_	Auf diesen Beitrag antworten »
ok beim integrieren hatte ich einen kleinen Denkfehler drin, aber müsste es dann nicht $\begin{eqnarray} y_{H} = \frac{C}{sin(x)} \end{eqnarray}$ heißen??
21.04.2015, 12:59	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja klar.
21.04.2015, 15:12	maier5__	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke, somit komme ich auf das ergebnis $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{e^{x} +C}{sin(x)} \end{eqnarray}$ .. habe diese aufgabe verstanden.. aber hier ist noch ein problem: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der folgenden DGL : $\begin{eqnarray} y''(x) -2y'(x)+5y(x) = \frac{4e^{x}}{cos(2x)} \end{eqnarray}$ .. Mein Ansatz wäre, mit $\begin{eqnarray} y(x)=e^{\lambda x} \end{eqnarray}$ womit sich die quadr. Gleichung $\begin{eqnarray} \lambda ^{2} -2\lambda +5=0 \end{eqnarray}$ ergibt. die beiden (komplexen) Ergebnisse wären $\begin{eqnarray} \lambda_{1}= 1+2i &\wedge &<br /> \lambda _{2}=1-2i \end{eqnarray}$ is dieser ansatz richtig ? weil danach wirds mit den komplexen zahlen ziemlich unübersichtlich
21.04.2015, 15:21	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
da habe ich etwas anderes heraus. Bitte nochmal prüfen
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21.04.2015, 15:29	maier5___	Auf diesen Beitrag antworten »
die quadr. Gleichung ist nicht richtig aufgestellt ? denn die beiden komplexen ergebnisse müssten stimmen.. könnte ich eventuell einen hinweis bekommen?
21.04.2015, 16:10	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
meine Aussage bezog sich auf die Aufgabe davor . Du mußt noch y_h +y_p addieren , das meinte ich. Zu dieser Aufgabe: Bis jetzt stimmt es ,Du mußt das Ganze mit Hilfe der Eulerformel zusammenfassen. Ist aber unnötig Arbeit. Zur Ermittlung von y_h gibt es Tabellen, die du kennen solltest. Ich habe erhalten: $\begin{eqnarray} y_{h} =C_{1} e^x cos(2x) +C_{2} e^x sin(2x) \end{eqnarray}$ Die part. Lösung ermittelst Du mit Hilfe der Wronski Determinante. Habt Ihr das schon gehabt?
22.04.2015, 10:15	maier5___	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich habe hier eine Tabelle für spezielle Ansätzen abhängig von der Störfunktion. allerdings finde ich hier keine aufgelistete Störfunktiont die ich mit $\begin{eqnarray} \frac{e^{x} }{cos(2x)} \end{eqnarray}$ vergleichen könnte lediglich zB $\begin{eqnarray} a e^{\alpha x} cos(\beta x) \end{eqnarray}$ , wo das ergebnis mit deinem vergleichbar wäre, und ja, ich weiß wie die wronski det. funktioniert
22.04.2015, 10:41	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meine die Tabelle bezüglich y_h Die Störfunktion kannst Du mit der Tabelle nicht berechnen. Das geht nur über die Wronski Determinante.
22.04.2015, 10:56	maier5____	Auf diesen Beitrag antworten »
ja habe mir schon gedacht dass da eine andere tabelle gemeint ist. habe aber nur diese hier. und bin jetzt im internet auch nicht fündig geworden.
22.04.2015, 11:37	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
für y_h :hier z.B. http://micbaum.y0w.de/uploads/LoesungsansaetzeDGLzweiterOrdnung.pdf
22.04.2015, 14:41	maier5_____	Auf diesen Beitrag antworten »
ok danke erstmal was hat die wronski determinante damit zutun? damit überprüft man ja nur auf lineare unabhängigkeit oder?
22.04.2015, 14:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Da es kein Ansatz für die partikulare Lösung gibt, wird das eben mit dieser Determinante berechnet.
22.04.2015, 14:52	maier5-	Auf diesen Beitrag antworten »
variation der konstanten ist nicht möglich? (bevor ich es versuche)
22.04.2015, 15:00	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
variation der konstanten ist nicht möglich? ->nein , nicht möglich Hier ein Link zur Verwendung der Determinate (Seite 16) mit Beispiel http://www.pi5.uni-stuttgart.de/de/teaching/lectures/show_file.php/lectures/73/vorl_10-12.pdf
22.04.2015, 15:34	maier5--	Auf diesen Beitrag antworten »
alles klar danke!

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