Positive Definitheit bei einem Integral

21.04.2015, 14:10

Thomas Wening

Positive Definitheit bei einem Integral

Hallo!

Ich soll bei zwei Abbildungen zeigen, dass Sie ein euklidisches/hermitesches Skalarprodukt definieren.
Das läuft soweit auch gut, bis auf die positive Definitheit.

Sei einmal $\begin{eqnarray*} f\in C(\left[0,1\right],\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta(f,g)=\int_{0}^{1}f(x)g(x)dx \end{eqnarray*}$ .

Dann ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx\geq 0\wedge \left(\int_{0}^{1}f^{2}(x)dx=0\Leftrightarrow f=0\right) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem sei andererseits $\begin{eqnarray*} f\in C(\left[0,1\right],\mathbb{C}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle f,g\rangle=\int_{0}^{1}f(t)\overline{g(t)}dt \end{eqnarray*}$ .

Dann ist zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt\geq 0\wedge \left(\int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt=0\Leftrightarrow f=0\right) \end{eqnarray*}$ .

Dass $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}|f(t)|^{2}dt\geq 0 \end{eqnarray*}$ , ist klar, denn $\begin{eqnarray*} x^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle reellen x.

Nehmen wir aber $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}f^{2}(x)dx \end{eqnarray*}$ Dann kann f dennoch von der Nullfunktion verschieden sein, damit das Integral verschwindet. Nehmen wir etwa $\begin{eqnarray*} f^{2}(x)=sin(2\pi x) \end{eqnarray*}$ , dann verschwindet das Integral dennoch. Ist diese Bilinearform dann also gar kein euklidisches Skalarprodukt?

LG Thomas

21.04.2015, 14:23

10001000Nick1

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RE: Positive Definitheit bei einem Integral

Zitat:

Original von Thomas Wening
Nehmen wir etwa $\begin{eqnarray*} f^{2}(x)=sin(2\pi x) \end{eqnarray*}$ , dann verschwindet das Integral dennoch.

$\begin{eqnarray*} \sin(2\pi x) \end{eqnarray*}$ nimmt auch negative Werte an, kann also nicht das Quadrat irgendeiner (reellwertigen) Funktion sein.

Tipp: Wenn eine stetige Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ungleich Null ist, dann ist sie es auch auf einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , d.h. du findest ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , sodass die Funktion auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon) \end{eqnarray*}$ ungleich Null ist.

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