Erzeugendensysteme der sym. Gruppe

21.04.2015, 14:47

Saphired

Erzeugendensysteme der sym. Gruppe

Meine Frage:
Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} N=\{1,2,...,n\} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} T_N \end{eqnarray*}$ die Menge der Transpositionen auf der Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ die Menge der Permutationen $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , für die es genau 3 Elemente $\begin{eqnarray*} j \in N \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} j\pi\neq j \end{eqnarray*}$ .

Man zeige:
a) $\begin{eqnarray*} T_N \end{eqnarray*}$ ist ein Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$

b) Im Fall $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ kein Erzeugendensystem der symmetrischen Gruppe $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also a) ist kein Problem, bei b) scheitere ich aber noch.

Erstmal ist es schon seltsam, dass es für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ funktionieren soll, da $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ da ja eigentlich die leere Menge ist. Andererseits ist ein Erzeugendensystem ja so definiert, dass Elemente aus $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ oder deren Inverse die Elemente von $\begin{eqnarray*} S_N \end{eqnarray*}$ erzeugen sollen. Da kann man vlt. noch irgendwie so argumentieren, dass das Inverse zu "kein Element" halt genau das eine Element der $\begin{eqnarray*} S_1 \end{eqnarray*}$ ist.
Wie man jetzt aber zeigen kann, dass es für alle $\begin{eqnarray*} n>1 \end{eqnarray*}$ nicht funktioniert, ist mir unklar. Ich meine für 2 und 3, kann man es einfach aufschreiben und sieht dann eben, dass es nicht geht, aber das reicht ja nicht.

Im Prinzip hab ich 2 Ideen, wie es gehen könnte:

1. Per Induktion. Man zeigt, dass es für 2 nicht geht, nimmt dann an, dass es für ein n nicht geht, sagt dann, dass eben wenigstens eine Permutation gibt, die man nicht als Komposition von Elementen aus $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ darstellen kann und zeigt dann, dass diese auch für $\begin{eqnarray*} n+1 \end{eqnarray*}$ nicht so darstellbar ist. Ich hab aber keine Ahnung, ob das geht und wenn ja, wie.

2. Man findet eine generelle Konstruktion für eine Permutation auf $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ , die nicht als Komposition von Elementen aus $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ dargestellt werden kann. Aber auch hier, wüsste ich nicht, wie das aussehen sollte.

21.04.2015, 14:59

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Erstmal ist es schon seltsam, dass es für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ funktionieren soll,

Wer behauptet dass denn? Die Aufgabenstellung tut es nach deiner Wiedergabe jedenfalls nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} j\pi\neq j \end{eqnarray*}$ .

Was soll das eigentlich bedeuten. Was ist Zahl*Permutation?

21.04.2015, 15:36

Saphired

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Zitat:

Original von Captain Kirk
Hallo,

Zitat:

Erstmal ist es schon seltsam, dass es für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ funktionieren soll,

Wer behauptet dass denn? Die Aufgabenstellung tut es nach deiner Wiedergabe jedenfalls nicht.

Unser Übungsgruppenleiter meinte, dass es wohl ginge. Jemand hatte halt gefragt, wie diese $\begin{eqnarray*} D_N \end{eqnarray*}$ eigentlich aussehen soll, weil sie für $\begin{eqnarray*} n<3 \end{eqnarray*}$ leer ist und somit die Aufgabenstellung zumindest nicht wirklich intuitiv verständlich.

Zitat:

Original von Captain Kirk

Zitat:

$\begin{eqnarray*} j\pi\neq j \end{eqnarray*}$ .

Was soll das eigentlich bedeuten. Was ist Zahl*Permutation?

Gemeint sind damit die Permutationen, die genau 3 Elemente "beeinflussen".
Wenn ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ nehme und darin die Permutation (1 2 3), könnte ich das wie folgt machen:
(1 2 3)*2 = 3
(1 2 3)*4 = 4
Permutation mal Zahl, würde also die Zahl liefern, auf die mein "Faktor" abgebildet wird in der Permutation.

21.04.2015, 18:25

Captain Kirk

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Zitat:

Unser Übungsgruppenleiter meinte, dass es wohl ginge

Da hat er schlicht unrecht, und zwar mit der begründung, die du ja selbst lieferst:

Zitat:

weil sie für $\begin{eqnarray*} n<3 \end{eqnarray*}$ leer ist

Zitat:

Wenn ich jetzt mal $\begin{eqnarray*} n=4 \end{eqnarray*}$ nehme und darin die Permutation (1 2 3), könnte ich das wie folgt machen:
(1 2 3)*2 = 3
(1 2 3)*4 = 4

Das ist zum Einen nicht die Notation aus dem Ausgangspost, zum Zweiten trotzdem eine sehr seltsame Notation.
Permatutionen sind Abbildungen, du scheinst sclicht den Wert von j unter der Abb. $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu meinen, und das schreibt man ganz standardmäßig und banal: $\begin{eqnarray*} \pi (j) \end{eqnarray*}$

Die betrachteten Permutationen sind alle gerade.

21.04.2015, 18:42

Saphired

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Ja, unser Prof ist dafür bekannt sich nicht unbedingt an Konventionen bzgl. Notationen oder Bezeichnungen zu halten...
Das was im Eingangspost geschrieben habe war 1 zu 1 der Text vom Aufgabenblatt^^

Aber stimmt, alle Permutationen sind gerade. Dass es so einfach ist, hätte ich nicht gedacht. Bleibt ja nur noch zu zeigen, dass Kompositionen von geraden Permutationen wieder gerade sind und fertig, denn die symm. Gruppe enthält für n>1 ja auch ungerade Permutationen, die damit nicht erzeugbar wären.

21.04.2015, 19:00

Saphired

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EDIT: war Blödsinn

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