Komplexe Funktionen

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22.04.2015, 00:18	Galina	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Funktionen Meine Frage: a) Veranschaulichen Sie diese Funktion anhand von Polarkoordinaten. Auf welche Teilmenge von C wird die reelle Achse abgebildet? Zu welchen geometrischen Objekten werden Kreise um den Ursprung transformiert? f : C?C, f(z) :=z / \|z\|+ a wie zeichnet man eine Funktion zu : f(z) :=z / \|z\|+ a Meine Ideen: Kann ich das z wie bei einer normalen Funktion wie das x behandeln?
22.04.2015, 00:36	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen z=x+iy braucht zwei Dimensionen, f=u+iv auch. In einem vierdimensionalen Raum koenntest Du dann den Graphen wie gewohnt zeichnen. Ansonsten behilft man sich z.B. damit, dass man x,y- und u,v-Ebene nebeneinander malt, links ein paar ausgewaehlte Kurven einzeichnet und rechts ihre Bilder. Wird ja auch so in der Aufgabe vorgeschlagen.
29.04.2015, 21:53	Galna	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Okay ich habe zwei Koordinatensystheme nebeneinander. Womit muss ich anfangen um Z.b f = u+iv ich brauch den ersten schritt. weiß garnicht wie ich beginnen soll. gruß Galina
30.04.2015, 17:15	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Der erste Schritt waere, einfach mal anzufangen. Markiere in der z-Ebene links einige beliebige Punkte, rechne ihre Bilder w=f(z) aus und zeichne sie dann in der w-Ebene rechts daneben ein.
05.05.2015, 21:49	Galin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen ich habe jetzt in das linke Koordinatensystem 4 beliebige Punkte eingezeichnet ( das sollte ich ja machen oder? ) wie soll ich ihre Bilder berechnen ? Verstehe ich da was nicht ? Gruß Galina.
05.05.2015, 22:59	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Die Punkte links repraesentieren komplexe Zahlen z, die sich in die Funktionsgleichung einsetzen lassen. Als Ergebnis kommt fuer jedes z wieder eine komplexe Zahl w=f(z) raus. Die kann man dann, nachdem man sie ausgerechnet hat, rechts als Bildpunkt eintragen.
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06.05.2015, 00:27	Glina	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Okay ... Theoretisch habe ich es ja jetzt verstanden. Jetzt zur Praxis... Also ich sollte ein Koordinatensystem zeichnen was eine ebene Z hat und auf diese Ebene Z Punkte eintragen. Diese Punkte habe ich dann als Komplexe zahlen umgeschrieben. ( Ich hoffe es ist richtig ). Dann soll ich das Umrechnen... Wie denn ? Soll ich Betrag bilden usw...? Gruß Galina
06.05.2015, 02:36	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hmm... Nachdem ich jetzt Dein Bild sehe, bin ich einigermassen perplex. Die Veranschaulichung komplexer Zahlen z=x+iy als die Punkte (x,y) der Ebene a la Gauss ist Dir bekannt? Diese Ebene ist zweidimensional, z hat die Koordinaten x und y -- z steht nicht als dritte Dimension irgendwie ueber x und y.
10.05.2015, 22:18	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Ich weiß wohl wie das mit dem Z=x+iy ist, bloß ich tuhe es mir schwer das in 3 D vorzustellen.
10.05.2015, 23:36	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Unter virtualmathmuseum.org/ConformalMaps/square/index.html ist ein Beispiel fuer f(z)=z^2. Links ist die z-Ebene, rechts davon die w-Ebene mit w=f(z). In 3D wird das nichts. Ich hab ja schon in meiner ersten Antwort erwaehnt, dass der Graph einer komplexwertigen Funktion mit komplexem Argument in 4D lebt.
11.05.2015, 00:17	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Noch ein Bild: mathfaculty.fullerton.edu/mathews//c2003/conformalmapping/ConformalMappingFigures/mat1004.gif
12.05.2015, 21:00	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Die Links sind gut. Ich verstehe immer mehr worum es geht. Ich habe da mal eine Frage und zwar wie kann ich das jetzt mit meiner Aufgabe in Verbindung bringen?
12.05.2015, 22:17	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Als erste Uebung: Markiere in der z-Ebene links einige beliebige Punkte, rechne ihre Bilder w=f(z) aus (eben fuer das f aus Deiner Aufgabe) und zeichne sie dann in der w-Ebene rechts daneben ein. Dann am besten mal das Ergebnis vorzeigen.
14.05.2015, 17:45	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Wie müssen wir denn bei der Rechnung vorgehen ? r ausrechnen r = W (a^2+b^2) und dann den winkel "fi" berechnen?
15.05.2015, 16:49	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Na, fuer die erste Uebung koenntest Du z.B. mal z=1+i in die Funktionsgleichung einsetzen, ausrechnen, was rauskommt (in Normaldarstellung w=u+iv) und das dann in der w-Ebene verorten. Das mit den Polarkoordinaten kommt dann spaeter. Ausserdem koenntest Du mal f(z) richtig angeben. Stimmt das so wie in Deinem ersten Post, fehlen da vielleicht Klammern, was ist a, etc.
16.05.2015, 21:55	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Ich habe dir die Aufgabe nochmal kopiert. Ein sogenanntes Fischauge ist eine spezielle Linse in der Fotograﬁe, die die Kr¨ummung des Bildes zum Rand hin verst¨arkt. Durch eine Transformation der komplexen Ebene l¨asst sich der Effekt nachbilden: man betrachtet die Funktion f : C→C, f(z) := z \|z\|+ a f¨ ur ein ﬁxiertes a > 0. a) Veranschaulichen Sie diese Funktion anhand von Polarkoordinaten. Auf welche Teilmenge von C wird die reelle Achse abgebildet? Zu welchen geometrischen Objekten werden Kreise um den Ursprung transformiert? b) Zeigen Sie, dass f in den Einheitskreis abbildet, d.h. f(C) ⊂B :=z ∈C \|z\| < 1 .Berechnen Sie dann die Umkehrfunktion f−1 : B→C. Dabei darf angenommen werden, dass f ¨uberhaupt invertierbar ist. Versuche jetzt mal deinen Anweisungen zu folgen.
16.05.2015, 22:20	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen soll ich das vielleicht umschreiben ?
16.05.2015, 22:26	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Ist das so gemeint?
16.05.2015, 22:46	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Eher so: $\begin{eqnarray} f(1+i)={1+i\over\|1+i\|+a}={1+i\over\sqrt{2}+a} \end{eqnarray}$ . In Deinem Copy-&-Paste-Verhau kann man die interessanten Sachen natuerlich wieder nicht lesen, aber dafuer gibt's ja Google, nicht? Jedenfalls findet sich da die Quelle fuer Deine Aufgabe ... Tipp: Fuer die Bilder kannst Du a=1 nehmen.
16.05.2015, 23:34	Galin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen gut ich habe es jetzt so wie du nachgerechnet. und habe es jetzt so nachvollzogen. Hast du vielleicht Zeit die Aufgaben durchzuzrechnen? würde denke ich mal Zeit sparen. die aufgaben sind von 2013 daher ist es nur für mich zum üben... Gruß Galina
17.05.2015, 00:25	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Ich hab's nicht noetig, die Aufgaben zu rechnen -- ganz im Gegensatz zu Dir. Wenn Du Dich selber bescheissen willst: Google findet sowohl die Aufgaben, Hinweise zur Loesung und auch die Loesungen selber.
17.05.2015, 14:00	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen du hast recht :-) sich selbst besch.... ist nicht gerade Clever :-) $\begin{eqnarray} \frac{1+i}{\sqrt{2}+ a } \end{eqnarray}$ muss ich also in die w - Ebene Einzeichnen oder ? und das für alle Punkte.. ja ?
17.05.2015, 20:12	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Fuer die Zeichnungen hatte ich durchweg a=1 vorgeschlagen. Dann ist $\begin{eqnarray} f(1+i)={1\over\sqrt{2}+1}+{1\over\sqrt{2}+1}\cdot i=0,414+0,414\cdot i \end{eqnarray}$ . Wenn Du es nicht schaffst, diesen Punkt in der w-Ebene zu markieren, dann faellt mir auch nichts mehr ein. Ansonsten koenntest Du noch einige weitere z-Werte probieren: i, -1+i, -1, -1-i, -i, 1-i, 1. Danach waere es sinnvoll, das Bild vorzuzeigen! Falls dieser Teil endlich mal ueber die Buehne geht, koenntest Du Dich dann hinterher(!) dem Vorschlag aus der Aufgabe widmen, und $\begin{eqnarray} z=re^{i\phi} \end{eqnarray}$ in Polarkoordinaten ansetzen.
19.05.2015, 16:23	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hallo rg. ich habe deine Antwort aufgenommen. merke aber dass ich noch bei den einfachen aufgaben schwächel. Ich werde erstmal alles nochmal wiederholen und dann komme ich auf diese Frage zurück.
02.06.2015, 22:18	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hi, da in ich wieder rg ich habe deine Anweisungen gefolgt so wie ich das konnte. Wahrscheinlich ist da nichts davon richtig. Warte auf jeden Fall auf deinen Feedback. Damit ich irgendwie Fuß fassen kann in dieser Aufgabe. Gruß Anja
03.06.2015, 21:32	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hmm ... Also wenn man eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray} z=x+iy \end{eqnarray}$ hat -- in Normaldarstellung, also $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ reell --, dann ist bekanntlich $\begin{eqnarray} \|z\|=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray}$ . Wie kommst Du da z.B. auf $\begin{eqnarray} \|i\|=\sqrt{1^2+i^2}=0 \end{eqnarray}$ ? Rechne doch erstmal die Betraege richtig, da stimmt ja kein einziger. Dass bei $\begin{eqnarray} \|1-i\|=\sqrt{1^2-i^2} \end{eqnarray}$ das Richtige rauskommt, ist reiner Zufall. Merke: Betragsrechnungen spielen sich immer im Bereich der reellen Zahlen ab. Wenn ein $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ in der Rechnung steht, ist es automatisch falsch. Wenn im Ergebnis eines steht, dann auch. $\begin{eqnarray} \|-1-i\|=\sqrt{-1+i^2}=i\sqrt{2} \end{eqnarray}$ ist ja wohl ein ganz starkes Stueck ...
07.06.2015, 14:13	Anusch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hallo, Damit ich dir nicht noch einmal so ein "Blödsinn" zuschicke. Habe ich mich über Einzeilheiten Informiert. Ich hoffe es ist jetzt besser. Hier nochmal meine Berechnungen. Gruß Anja
07.06.2015, 14:19	Anusch	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Hier die restlichen Bilder.
07.06.2015, 14:22	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen sorry sehe jetzt erst dass 2 Bilder gekippt sind, werde da nächstes mal drauf achten.
08.06.2015, 19:26	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Stimmen tut nur f(1)=1/2. Abgesehen von f(1+i), was ich Dir schon gegeben hatte, ist der Rest leider falsch. Offensichtlich hast Du Probleme bei elementarer Arithmetik und mit dem Bruchrechnen. Ich denke, die solltest Du erst mal beheben, befor Du mit komplexen Zahlen weitermachst. Es fuehrt ja so zu nichts.
08.06.2015, 21:04	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Stimmen die Ergebnisse nicht oder die komplette Rechenwege? ich versuche das dann mal auf die Reihe zu bekommen.
08.06.2015, 21:42	rg	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Du hast z.B. fuer unser $\begin{eqnarray} f(z)={z\over\|z\|+1} \end{eqnarray}$ gerechnet: $\begin{eqnarray} f(-1)={-1+0\over\|-1+0\|+1}={-1+0\over 1+i}={1\over1+i}+{0\over1+i}\cdot i={1\over 2}-{1\over2}\cdot i \end{eqnarray}$ Es faellt mir schwer, dazu irgendeinen sinnvollen Kommentar abgzugeben. Vielleicht mag ja einer von den Spezialisten fuer Didaktik hier was zu sagen. Ich bin mit meinem Latein am Ende.
09.06.2015, 20:41	Anuscha	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Funktionen Gut dann lassen wir es an dieser Stelle sein. Trotzdem vielen Dank rg.!!
10.06.2015, 13:33	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Offenbar scheint das hier die Fortsetzung zu sein: Zeigen dass f ein Einheitskreis bildet und Umkehrfunktion berechnen

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