Komplexe Einheitswurzel, Matrixdarstellung

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22.04.2015, 14:45	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Einheitswurzel, Matrixdarstellung Meine Frage: Für die n-te Einheitswurzel w(klein Omega)= e^(i2PI/n) definieren wir die Metrix Fn= wn^(jk) Element C^(n x n) Geben Sie die Matrizen F4 sowie F4^H explizit an; berechne anschließend F4^H * F4 Meine Ideen: Viel verstehe ich nicht, nur dass es eine 4 x 4 Matrix sein wird mit komplexen Zahlen. Was da alles reinkommt und vor allen wie weiß ich nicht, aus meinen Aufzeichnungen kann ich auch nichts ableiten. Kann mir bitte jemand Ratschläge geben was ich in dieser Aufgabe machen muss?
22.04.2015, 18:25	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In der Zeile $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ und Spalte $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ der Matrix $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ steht $\begin{eqnarray} \omega_n^{jk} \end{eqnarray}$ , soweit kein Problem. $\begin{eqnarray} F_n^H \end{eqnarray}$ ist dann vermutlich die adjungierte Matrix $\begin{eqnarray} F_n^H=\overline {F_n}^T=\overline {F_n^T} \end{eqnarray}$ . Weil $\begin{eqnarray} F_n \end{eqnarray}$ symmetrisch ist, musst Du nur komplex konjugieren (und dann laut Aufgabe multiplizieren).
22.04.2015, 18:43	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
Bedeutet das jetzt einfach $\begin{eqnarray} \omega_n^{11} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{13} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{14} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{21} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{22} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{23} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{24} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{31} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{32} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{33} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{34} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{41} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{42} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{43} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{44} \end{eqnarray}$ Für die n dann die 4 eingeben
22.04.2015, 18:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
jk ist das PRODUKT aus j und k . Zum Beispiel $\begin{eqnarray} 2\cdot 3 = 6 \end{eqnarray}$ n=4 stimmt.
22.04.2015, 18:53	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \omega_n^{1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{9} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{8} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{12} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \omega_n^{16} \end{eqnarray}$ Richtig?
22.04.2015, 19:42	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
Und dementsprechend F4^H ist genau das gleiche!? Oder habe ich da einen Fehler in der Überlegung?
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22.04.2015, 20:01	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \omega_4=i \end{eqnarray}$ ist eine 4. Einheitswurzel. $\begin{eqnarray} \overline i \end{eqnarray}$ ist nicht gleich $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$
22.04.2015, 20:55	moupep	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich hab das mit den jk nicht verstanden, bedeutet das beispielsweise den Ausdruck in der jk-ten Potenz?
23.04.2015, 11:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem jk hast Du schon verstanden, Deine Matrix ist doch in Ordnung. Du musst nur noch die n. Einheitswurzel $\begin{eqnarray} \omega_n \end{eqnarray}$ durch die 4. Einheitswurzel $\begin{eqnarray} \omega_4=i \end{eqnarray}$ ersetzen und diese zu den angegebenen Potenzen erheben.

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