Untervektorraum prüfen

23.04.2015, 16:05

winki2008

Untervektorraum prüfen

Hallo, ich habe eine Frage zu diesen Bsp., welche letztes Jahr zu einer Prüfung gestellt wurden:

Es muss gelten:
Unterraum U ist eine Teilmenge von Vektorraum V und liegt dann vor wenn:

$\begin{eqnarray*} U \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u + w \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot u \in U \end{eqnarray*}$

i)

ich habe gelesen: der der Nullvektor muss im Unterraum U auch liegen

und bei diesem Bsp. kann ich ja keinen Nullvektor erzeugen:

Sei $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist es als Antwort korrekt dies zu ziegen?

Außerdem kann man auch zeigen:

sei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} y=2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dann folgt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} cos²(x) \\ sin²(x) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} cos²(y) \\ sin²(y) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} cos²(0) \\ sin²(0) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} cos²(2 \pi) \\ sin²(2 \pi) \end{pmatrix}=<br /> \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix} \notin U \end{eqnarray*}$

weil $\begin{eqnarray*} 0\leq cos²(x)\leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Stimmt das auch?

ii) weiß ich nicht, wie ich angehen soll...

Die Bedingung gilt einmal für alle geraden Funktionen: z.B.: $\begin{eqnarray*} x², cos(x), \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ , etc...

hat es damit zu tun das z.b: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ nie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird und ich wieder keinen Nullvektor habe?

iii) Jede Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystem ist ein Untervektorraum...kein gesonderter Nachweis erforderlich
[attach]37809[/attach]

Danke für eure antworten

23.04.2015, 16:44

klarsoweit

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RE: Untervektorraum prüfen

Zitat:

Original von winki2008
i)

ich habe gelesen: der der Nullvektor muss im Unterraum U auch liegen

und bei diesem Bsp. kann ich ja keinen Nullvektor erzeugen:

Sei $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} x_2=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das sind ja nur 2 Beispiele. Vielleicht gibt es ein x, wo das dennoch möglich ist?
Umgekehrt: wenn du glaubst, daß dies nicht möglich ist, muß schon eine stichhaltige Begründung her.

Zitat:

Original von winki2008
ii) weiß ich nicht, wie ich angehen soll...

Die Bedingung gilt einmal für alle geraden Funktionen: z.B.: $\begin{eqnarray*} x², cos(x), \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ , etc...

hat es damit zu tun das z.b: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ nie $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ wird und ich wieder keinen Nullvektor habe?

Da verstehst du was falsch. Nullvektor wäre eine Funktion, die eben die Eigenschaft eines Nullvektors hat. Nicht jeder Vektor ist ein Nullvektor, ergo auch nicht jede Funktion.

Zitat:

Original von winki2008
iii) Jede Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystem ist ein Untervektorraum...kein gesonderter Nachweis erforderlich

Ja, wenn das allgemein anerkannt und so verwendet werden darf.

26.04.2015, 18:58

winki2008

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danke für deinen Kommentar, eine Frage noch..ist b) jetzt ein Untervektorraum...mir fällt nämlich kein Gegenbsp. ein...

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