Verschoben! Exponentielles Wachstum: Mäusepopulation in einem Lagerhaus

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sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »
Exponentielles Wachstum: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Meine Frage:
Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einer Mäusepopoulation in einem Lagerhaus für 200 Tage:
Zeit in Tagen: 0 10 20 30 40 50 100 150 160
Anz.d.Mäuse: 50 80 132 215 350 540 2990 4740 4840
Zeit in Tagen: 170 180 190 200
Anz.d.Mäuse: 4900 4940 4960 4980

Für die ersten 50 Tage soll exponentielles Wachstum mit der Funktion f(x)= a * e ^ k *x angenommen werden.; x in Tagen und f(x) in Anzahl der Mäuse zum Zeitpunkt x. Bestimmen sie die Parameter a und k mithilfe der Daten für x=40 und x=0 (Konbtrollergebnis: a = 50 und k=0,04865). Berechnen Sie, wie viele Mäuse nach 47 Tagen im Lagerhaus leben. Bestimmen sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 400 Mäusen überschritten wird. Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate erstmalig größer als 10 Mäuse pro Tag ist.

Das ist die Aufgabe. Die Parameter konnte ich schon berechnen, aber weiter weiß ich leider nicht :/.

Meine Ideen:
Die beiden Parameter konnte ich schon berechnen. Wie ich jetzt weiter fortfahren soll weiß ich leider gar nicht unglücklich .
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
1. Berechne f(47)

2. Berechne: f '(x) > 10
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Zitat:
Original von adiutor62
1. Berechne f(47)

2. Berechne: f '(x) > 10


Also ich habe jetzt einfach mit den vorhandenen Zahlen gerechnet.
f(47)= 50 x e^0,0486 x 40

Das per Taschenrechner ergibt gerundet 349. Ist das so richtig?
Wenn ja, wäre dies die nächste Aufgabe: "Bestimmen sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 400 Mäusen überschritten wird."
opi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Zitat:
Original von sasa007
f(47)= 50 x e^0,04865 x 47


Du mußt nun für x aber auch 47 einsetzen und nicht x=40.
(Die 349 Mäuse kommen an den genaueren Wert für 40 Tage nur genähert heran, weil Du mit einem ungenauen Wert für k gerechnet hast.)

Für die nächste Aufgabe kannst Du f(x)=400 setzen und durch Logarithmieren nach x auflösen.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Jetzt habe ich wie folgt gerechnet.
f(47)= 50 x e^0,04865 x 47

Das Ergebnis ist gerundet 492. Richtig? geschockt
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Für die nächste Aufgabe bin ich schonmal so vorgegangen:

400= a x e^k x X

400= 50 x e^0,04865 x X

Logarithmieren?! verwirrt unglücklich HILFE!
 
 
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, 492 Mäuse sind richtig.

Zitat:
400= 50e^0,04865x

Du kannst die Gleichung zunächst durch 50 teilen, anschließend auf beiden Seiten logarithmieren.
(Die rechte und linke Seite der Gleichung jeweils als schreiben, vereinfachen und nach x auflösen.

Und nachdem Du Dich nun angemeldet hast: Willkommen

Edit: Bitte kein x als Malpunkt verwenden, das verwirrt.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Nach alleinigem rumprobieren bin ich auf gerundet x= 5,10225 gekommen. Was ja eigentlich Käse ist. Ich probier's nochmal nach deiner Anleitung verwirrt
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sasa007
Nach alleinigem rumprobieren bin ich auf gerundet x= 5,10225 gekommen.


In derTat, das ist nicht richtig. Ohne Rechenweg kann ich dazu allerdings nichts sagen.
Bitte festhalten, ich schiebe den Thread in die Analysis.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also soweit bin ich jetzt:

ln (8) = ln (0,04865x)

Und jetzt? verwirrt
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, das war falsch!

Ich hab' ja dann ln (8) = 0,04865x --> Taschenrechner

2.079441542 = 0,04865x | durch 0,04865 dividieren
42,74289 = x

Also am 42. Tag ?! geschockt verwirrt Freude
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau, im Verlauf des 42.Tages ist richtig. Freude

Die letzte Aufgabe mit den 10 Mäusen pro Tag geht ähnlich zu berechnen, dazu mußt Du die erste Ableitung bilden.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow ich bin begeistert von mir selbst Big Laugh !

Spaß bei Seite, also die 1. Ableitung welcher Funktion? Augenzwinkern
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Wie viele Funktionen haben wir denn? Ich empfehle f(x)...
Ob Du die Parameter zum Ableiten bereits eingesetzt hast oder dies erst später machst, ist egal.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also leite ich f(x)= ae^kx ab?!

Ich weiß grad echt nicht weiter... verwirrt Weil meiner Meinung nach ja alles stehen bleibt?! :/ Ich hab' grad echt keine Ahnung!
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Ableitung der e-Funktion benötigst Du die Kettenregel. Stichwort: Mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren.
Falls Du Dich mit "Zahlen" wohler fühlen solltest, könntest Du für a und k allerdings auch die berechneten Werte vorher einsetzen.

Edit:
Zitat:
f(x)= ae^(kx)

Bitte eine Klammer um den Exponenten setzen.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)= 50e^0,04865x

f'(x)= e^0,04865x mal 0,04865

Ist das ansatzweise richtig?! unglücklich verwirrt
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Im Ansatz kann man einiges Gutes erkennen, allerdings fehlt der Konstante Faktor 50.


Vor dem e kann man noch zusammenfassen. smile
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Also zusammengefasst und mit dem konstanten Faktor 50 (Ich wusste, dass irgendwas stehen bleibt... -.-) komm ich auf:
f'(x)= 2,4325 e^0,04865x
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

10= 2,4325 e^0,04865x | dividiert durch 2,4325

4,1111 = e^0,04865x | ln

ln 4,1111 = 0,04865x | durch 0,04865 dividieren

x= 29,0584
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.
Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion bzw. den momentanen Zuwachs an Mäusen an, löse also
Dies rechnet sich ähnlich der Aufgabe mit
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ah, hast Du schon gemacht. Freude
Gefragt ist nach größer als 10 Mäusen, d.h. unmittelbr und sofort nach demberechneten Zeitpunkt.
Also imVerlauf des 29.Tages.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich, dann wären wir ja quasi fertig! Freude Gott
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von opi
Also im Verlauf des 29.Tages.


Quatsch! Der erste Tag geht vom Zeitpunkt 0 bis 1, der zweite Tag von 1 bis 2, ...
Das Prinzip ist so ähnlich wie bei einer Altersangabe.
Bei hat also gerade der 30. Tag begonnen.

Ebenso bei der Aufgabe vorher:
Zitat:
Original von sasa007
42,74289 = x

Also am 42. Tag ?!

Also am 43. Tag.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow danke! Wink Da habe ich gar nicht dran gedacht!! Gott
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich zuerst leider auch nicht, hatte aber so ein mulmiges Gefühl... geschockt

Gern geschehen! Wink
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

"Erläutern Sie die Grenzen dieser Modellierung im Sachzusammenhang." Hast du eine Idee? verwirrt
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne einmal die theoretische Mäuseanzahl nach einem Jahr, also und stelle Dir dabei ein kleines Lagerhäuschen vor. (Oder auch ein großes)
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

2575405940 Okay das wären echt viel Big Laugh
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, das wäre der Wertnach 365 Tagen. Damit sollte die Begründung für die Grenze des Modells klar sein.
sasa007 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für alles! smile Wenn noch was ansteht melde ich mich ggf. wieder! Big Laugh Wink Freude
opi Auf diesen Beitrag antworten »

Gern geschehen, gute Nacht! Schläfer
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