Verschoben! Exponentielles Wachstum: Mäusepopulation in einem Lagerhaus |
23.04.2015, 18:53 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Exponentielles Wachstum: Mäusepopulation in einem Lagerhaus Die folgende Tabelle zeigt die Entwicklung einer Mäusepopoulation in einem Lagerhaus für 200 Tage: Zeit in Tagen: 0 10 20 30 40 50 100 150 160 Anz.d.Mäuse: 50 80 132 215 350 540 2990 4740 4840 Zeit in Tagen: 170 180 190 200 Anz.d.Mäuse: 4900 4940 4960 4980 Für die ersten 50 Tage soll exponentielles Wachstum mit der Funktion f(x)= a * e ^ k *x angenommen werden.; x in Tagen und f(x) in Anzahl der Mäuse zum Zeitpunkt x. Bestimmen sie die Parameter a und k mithilfe der Daten für x=40 und x=0 (Konbtrollergebnis: a = 50 und k=0,04865). Berechnen Sie, wie viele Mäuse nach 47 Tagen im Lagerhaus leben. Bestimmen sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 400 Mäusen überschritten wird. Ermitteln Sie den Tag, an dem die momentane Zuwachsrate erstmalig größer als 10 Mäuse pro Tag ist. Das ist die Aufgabe. Die Parameter konnte ich schon berechnen, aber weiter weiß ich leider nicht :/. Meine Ideen: Die beiden Parameter konnte ich schon berechnen. Wie ich jetzt weiter fortfahren soll weiß ich leider gar nicht . |
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23.04.2015, 19:03 | adiutor62 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus 1. Berechne f(47) 2. Berechne: f '(x) > 10 |
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23.04.2015, 19:38 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Also ich habe jetzt einfach mit den vorhandenen Zahlen gerechnet. f(47)= 50 x e^0,0486 x 40 Das per Taschenrechner ergibt gerundet 349. Ist das so richtig? Wenn ja, wäre dies die nächste Aufgabe: "Bestimmen sie den Tag, in dessen Verlauf die Anzahl von 400 Mäusen überschritten wird." |
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23.04.2015, 21:24 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus
Du mußt nun für x aber auch 47 einsetzen und nicht x=40. (Die 349 Mäuse kommen an den genaueren Wert für 40 Tage nur genähert heran, weil Du mit einem ungenauen Wert für k gerechnet hast.) Für die nächste Aufgabe kannst Du f(x)=400 setzen und durch Logarithmieren nach x auflösen. |
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23.04.2015, 21:33 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus Jetzt habe ich wie folgt gerechnet. f(47)= 50 x e^0,04865 x 47 Das Ergebnis ist gerundet 492. Richtig? |
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23.04.2015, 21:39 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Exponentielles Wachstum Aufgabe: Mäusepopulation in einem Lagerhaus Für die nächste Aufgabe bin ich schonmal so vorgegangen: 400= a x e^k x X 400= 50 x e^0,04865 x X Logarithmieren?! HILFE! |
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23.04.2015, 21:46 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, 492 Mäuse sind richtig.
Du kannst die Gleichung zunächst durch 50 teilen, anschließend auf beiden Seiten logarithmieren. (Die rechte und linke Seite der Gleichung jeweils als schreiben, vereinfachen und nach x auflösen. Und nachdem Du Dich nun angemeldet hast: Edit: Bitte kein x als Malpunkt verwenden, das verwirrt. |
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23.04.2015, 21:51 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nach alleinigem rumprobieren bin ich auf gerundet x= 5,10225 gekommen. Was ja eigentlich Käse ist. Ich probier's nochmal nach deiner Anleitung |
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23.04.2015, 21:55 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In derTat, das ist nicht richtig. Ohne Rechenweg kann ich dazu allerdings nichts sagen. Bitte festhalten, ich schiebe den Thread in die Analysis. |
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23.04.2015, 21:57 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also soweit bin ich jetzt: ln (8) = ln (0,04865x) Und jetzt? |
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23.04.2015, 22:01 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Moment, das war falsch! Ich hab' ja dann ln (8) = 0,04865x --> Taschenrechner 2.079441542 = 0,04865x | durch 0,04865 dividieren 42,74289 = x Also am 42. Tag ?! |
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23.04.2015, 22:08 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja genau, im Verlauf des 42.Tages ist richtig. Die letzte Aufgabe mit den 10 Mäusen pro Tag geht ähnlich zu berechnen, dazu mußt Du die erste Ableitung bilden. |
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23.04.2015, 22:13 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wow ich bin begeistert von mir selbst ! Spaß bei Seite, also die 1. Ableitung welcher Funktion? |
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23.04.2015, 22:18 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie viele Funktionen haben wir denn? Ich empfehle f(x)... Ob Du die Parameter zum Ableiten bereits eingesetzt hast oder dies erst später machst, ist egal. |
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23.04.2015, 22:22 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also leite ich f(x)= ae^kx ab?! Ich weiß grad echt nicht weiter... Weil meiner Meinung nach ja alles stehen bleibt?! :/ Ich hab' grad echt keine Ahnung! |
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23.04.2015, 22:28 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Für die Ableitung der e-Funktion benötigst Du die Kettenregel. Stichwort: Mit der Ableitung des Exponenten multiplizieren. Falls Du Dich mit "Zahlen" wohler fühlen solltest, könntest Du für a und k allerdings auch die berechneten Werte vorher einsetzen. Edit:
Bitte eine Klammer um den Exponenten setzen. |
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23.04.2015, 22:37 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f(x)= 50e^0,04865x f'(x)= e^0,04865x mal 0,04865 Ist das ansatzweise richtig?! |
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23.04.2015, 22:41 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Im Ansatz kann man einiges Gutes erkennen, allerdings fehlt der Konstante Faktor 50. Vor dem e kann man noch zusammenfassen. |
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23.04.2015, 22:45 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also zusammengefasst und mit dem konstanten Faktor 50 (Ich wusste, dass irgendwas stehen bleibt... -.-) komm ich auf: f'(x)= 2,4325 e^0,04865x |
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23.04.2015, 22:47 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
10= 2,4325 e^0,04865x | dividiert durch 2,4325 4,1111 = e^0,04865x | ln ln 4,1111 = 0,04865x | durch 0,04865 dividieren x= 29,0584 |
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23.04.2015, 22:52 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. Die Ableitung gibt die Steigung der Funktion bzw. den momentanen Zuwachs an Mäusen an, löse also Dies rechnet sich ähnlich der Aufgabe mit |
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23.04.2015, 22:58 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah, hast Du schon gemacht. Gefragt ist nach größer als 10 Mäusen, d.h. unmittelbr und sofort nach demberechneten Zeitpunkt. Also imVerlauf des 29.Tages. |
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23.04.2015, 22:59 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hab ich, dann wären wir ja quasi fertig! |
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23.04.2015, 23:09 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Quatsch! Der erste Tag geht vom Zeitpunkt 0 bis 1, der zweite Tag von 1 bis 2, ... Das Prinzip ist so ähnlich wie bei einer Altersangabe. Bei hat also gerade der 30. Tag begonnen. Ebenso bei der Aufgabe vorher:
Also am 43. Tag. |
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23.04.2015, 23:15 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wow danke! Da habe ich gar nicht dran gedacht!! |
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23.04.2015, 23:17 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich zuerst leider auch nicht, hatte aber so ein mulmiges Gefühl... Gern geschehen! |
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23.04.2015, 23:21 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
"Erläutern Sie die Grenzen dieser Modellierung im Sachzusammenhang." Hast du eine Idee? |
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23.04.2015, 23:28 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Berechne einmal die theoretische Mäuseanzahl nach einem Jahr, also und stelle Dir dabei ein kleines Lagerhäuschen vor. (Oder auch ein großes) |
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23.04.2015, 23:31 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
2575405940 Okay das wären echt viel |
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23.04.2015, 23:37 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau, das wäre der Wertnach 365 Tagen. Damit sollte die Begründung für die Grenze des Modells klar sein. |
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23.04.2015, 23:56 | sasa007 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke für alles! Wenn noch was ansteht melde ich mich ggf. wieder! |
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23.04.2015, 23:59 | opi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen, gute Nacht! |
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