e-Funktion ableiten Nummer 3

23.04.2015, 17:41

OpaHoppenstedt

e-Funktion ableiten Nummer 3

Das folgende ist etwas komplexer. Ich hoffe, ich habe mich nicht vertippt.
Was ich heraus bekommen habe, scheint aber (laut Buch –ein anderes Buch diesmal) falsch zu sein.

Dies ist abzuleiten:
$\begin{eqnarray*} (x \cdot \sqrt{1+e^{x}})' \end{eqnarray*}$

Ich schaffe mir zunächst die Wurzel vom Hals, weil ich mehr Durchblick davon verspreche:
$\begin{eqnarray*} = (x \cdot (1+e^{x})^{1/2})' \end{eqnarray*}$

Um dann besser ableiten zu können, wende ich den Exponenten 1/2 an auf die beiden Objekte in der Klammer:
$\begin{eqnarray*} = (x \cdot (1^{1/2}+e^{x/2})' \end{eqnarray*}$

Ich unterteile in u und v für die Anwendung der Produktregel:
$\begin{eqnarray*} u = x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} u' = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = 1^{1/2}+e^{x/2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v' = e^{x/2} \cdot 1/2 \end{eqnarray*}$

Ich setze zusammen (u' * v + u * v'):
$\begin{eqnarray*} = 1 \cdot (\sqrt{1} + e^{x/2} ) + x \cdot (1/2 \cdot e^{x/2})) \end{eqnarray*}$

Und in 2 weiteren Schritten räume ich auf und klammere aus:
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{e^{x}} + x/2 \cdot {\sqrt{e^{x}}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sqrt{e^{x}} \cdot (x/2 + 1) \end{eqnarray*}$

Die abgedruckte Lösung ist jedoch eine andere:
$\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}}{2 \cdot \sqrt{1 + e^{x}}} + \sqrt{1+e^{x}} \end{eqnarray*}$

Wie seht Ihr die Sache?

23.04.2015, 17:47

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das Buch liegt richtig. Überprüfe das Rechengesetz, das du hier:

$\begin{eqnarray*} (1+e^{x})^{1/2} = 1^{1/2}+e^{x/2} \end{eqnarray*}$ angewendet hast mal an konkreten Zahlen.

Ist ein beliebter Fehler.

23.04.2015, 17:56

OpaHoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
Hallo,

das Buch liegt richtig. Überprüfe das Rechengesetz, das du hier:

$\begin{eqnarray*} (1+e^{x})^{1/2} = 1^{1/2}+e^{x/2} \end{eqnarray*}$ angewendet hast mal an konkreten Zahlen.

Ist ein beliebter Fehler.

Stimmt, ich bekomme unterschiedliche Zahlen raus.

Das Gesetzt ist dieses Potenzgesetz mit der Klammer: $\begin{eqnarray*} (a^{m})^{n} = a^{m\cdot n} \end{eqnarray*}$

Weshalb funktioniert das in diesem Fall nicht? Was ich als Unterschied sehe, ist dass ich 2 Summanden in der Klammer habe im Gegensatz zu der allgemeinen Regel-Gleichung.

23.04.2015, 17:57

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Was ist denn bei dir das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2015, 17:59

OpaHoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Guppi12
Was ist denn bei dir das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ?

Das a sind die 2 Summanden in der Klammer: $\begin{eqnarray*} 1 + e^{x} \end{eqnarray*}$

Daran wird es wohl liegen.

23.04.2015, 18:00

OpaHoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich muss dann die Klammer in Ruhe lassen und mit ihr als Ganzes weiter kommen, ja?

23.04.2015, 18:03

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn a die zwei Summanden sind, dann ist n wohl 1? Augenzwinkern

Dann kommt doch genau das richtige raus, nämlich a^(1/2) = (1+e^x)^(1/2)

Eine Begründung für deinen Rechenschritt sehe ich nicht Augenzwinkern

Zu deiner letzten Frage: ja, das kannst du erstmal nicht weiter vereinfachen.

23.04.2015, 18:04

OpaHoppenstedt

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Scheint mir dann sogar einfacher zu sein, es sei denn, hier ist wieder ein Fehler drin:
$\begin{eqnarray*} (1 + e^{x})^{1/2})' = (e^{x})^{1/2} = \sqrt{e^{x}} \end{eqnarray*}$

23.04.2015, 18:08

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt leider auch nicht. Du musst das als Verkettung von 2 Funktionen betrachten und dementsprechend die Kettenregel anwenden.

Neue Frage »

Antworten »

e-Funktion ableiten Nummer 3

Verwandte Themen