Konvergenz einer Funktionenfolge

23.04.2015, 19:45

Clauli

Konvergenz einer Funktionenfolge

Meine Frage:
Hallo! Ich soll den Limes der Funktionsfolge fn: R->R mit
$\begin{eqnarray*} f_{n}(x)= n*arctan(\frac{x}{n} ) \end{eqnarray*}$ berechnen.
Weiters soll ich überprüfen ob sie punktweise oder gleichmäßig konvergiert.

Meine Ideen:
Also ich hab mir Folgendes überlegt, bin mir aber sehr unsicher.
$\begin{eqnarray*} n*arctan(x/n)=n*\sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k}\frac{ (\frac{x}{n})^{2k+1} }{2k+1} \end{eqnarray*}$
Durch Umformung komme ich dann auf
$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k}(\frac{x}{n})^{2k}\frac{x}{2k+1} = x-(\frac{x}{n}) ^{2} \frac{x}{3} +(\frac{x}{n}) ^{4} \frac{x}{5}-... \end{eqnarray*}$
für n -> unendlich, konvergieren doch alle Summanden gegen 0, außer x.
Also fn(x)konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x:=f(x) \end{eqnarray*}$

Und, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ||f_{n}- f||_{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ dann konvergiert es gleichmäßig.
$\begin{eqnarray*} ||f_{n}- f||_{\infty } = sup_{x\in \mathbb R } | n*arctan(\frac{x}{n})- x | \end{eqnarray*}$
Und dass geht ja dann gegen 0. Also konvergiert es gleichmäßig.
Also, kann ich 1. arctan überhaupt so umformen bzw den Grenzwert so berechnen und 2. wenn ja, stimmt die Rechnung denn auch?

23.04.2015, 21:45

Guppi12

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Guten Abend,

Zitat:

$\begin{eqnarray*} =\sum\limits_{k=0}^{\infty } (-1)^{k}(\frac{x}{n})^{2k}\frac{x}{2k+1} = x-(\frac{x}{n}) ^{2} \frac{x}{3} +(\frac{x}{n}) ^{4} \frac{x}{5}-... \end{eqnarray*}$ für n -> unendlich, konvergieren doch alle Summanden gegen 0, außer x.

Die Argumentation ist so etwas unpräzise. Du müsstest ein Wort verlieren, warum der Konvergenzradius der Reihe nicht unendlich sein muss und außerdem überlegen ob und warum man hier den Limes $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ in die Reihe hereinziehen darf.

In diesem Fall ist die Identität sogar tatsächlich der punktweise Grenzwert, müsste aber nicht so sein.

Etwas einfacher kommst du so dort hin:

$\begin{eqnarray*} n*\arctan(\frac{x}{n}) = x\cdot \frac{\arctan(\frac{x}{n})-\arctan(0)}{\frac{x}{n}} \end{eqnarray*}$ . Der Bruch sollte dich für $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ an etwas bekanntes erinnern.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} ||f_{n}- f||_{\infty } = sup_{x\in \mathbb R } | n*arctan(\frac{x}{n})- x | \end{eqnarray*}$

Und dass geht ja dann gegen 0. Also konvergiert es gleichmäßig.

Und ich war schon mal auf dem Mond. Ohne Beweise kann jeder vieles behaupten Augenzwinkern

Wieso geht das gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ?

23.04.2015, 23:18

Clauli

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Hmm, danke auf jeden Fall für die Antwort! smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x\frac{arctan(x/n)-arctan(0)}{x/n} =\lim_{n \to \infty } x*\lim_{n \to \infty }\frac{arctan(x/n)}{x/n} \end{eqnarray*}$
x konvergiert gegen x und für n gegen Unendlich geht x/n gegen 0
$\begin{eqnarray*} \lim_{\frac{x}{n} \to 0 }\frac{arctan(x/n)}{x/n} =1 \end{eqnarray*}$
Also ist der Grenzwert x. Hast du das so gemeint?

Dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ||f_{n} -f||_{\infty } = 0 \end{eqnarray*}$ hätte ich gefolgert, weil ja alle Summanden gegen 0 konvergieren, außer x, dass wird ja aber subtrahiert, also konvergierts gegen 0. Wenn ich das jetzt aber nicht durch die Reihe so ohne weiteres machen kann... verwirrt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } ||f_{n} -f||_{\infty } = \lim_{n \to \infty } sup| x\frac{arctan(x/n)}{x/n} -x| = \lim_{n \to \infty } sup| x*(\frac{arctan(x/n)}{x/n} -1)| \end{eqnarray*}$
Bringt mir das was? Kann ich einfach sagen, dass arctan(x/n)/(x/n) gegen 1 geht, also x*(1-1)=0?

24.04.2015, 00:35

Guppi12

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Wie hast du denn nun den ersten Grenzwert berechnet? 1 ist richtig, aber ich kann nicht erkennen, ob du verstanden hast, warum Augenzwinkern

Ich geb dir zum zweiten Teil erstmal den Tipp, dass die Aussage falsch ist. Versuche dich also eher an einer Widerlegung.

24.04.2015, 09:15

Clauli

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Den Grenzwert habe ich bekommen, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} arctan(x)/x =1 \end{eqnarray*}$ , hatten wir mal in der Vorlesung und mit de l'Hospital gezeigt. arctan(0)=0 fällt ja weg.
Wäre jetzt meine Überlegung dazu gewesen. Stimmts? smile

Okay, ich habe jetzt einiges versucht. Aber irgendwie komme ich immer auf $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb R } | n*arctan(x/n)-x | \end{eqnarray*}$ geht gegen 0...
Ist zumindest die Beweismethode richtig, also dass ich den limes von sup|fn(x)-f(x)| betrachte oder soll ich das Ganze generell mit einer anderen Richtung versuchen?
Danke für die Hilfe!

24.04.2015, 10:36

Guppi12

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Zitat:

Den Grenzwert habe ich bekommen, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} arctan(x)/x =1 \end{eqnarray*}$ hatten wir mal in der Vorlesung

Ok, das geht natürlich. Ich wollte an der Stelle eigentlich darauf hinaus, dass es sich bei dem Grenzwert per Definition der Ableitung um $\begin{eqnarray*} \arctan'(0) \end{eqnarray*}$ handelt, deswegen hatte ich auch das $\begin{eqnarray*} -\arctan(0) \end{eqnarray*}$ noch mit eingebaut. Aber wie gesagt, es geht natürlich auch mit L'Hospital.

Zitat:

Okay, ich habe jetzt einiges versucht. Aber irgendwie komme ich immer auf $\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb R } | n*arctan(x/n)-x | \end{eqnarray*}$ geht gegen 0...

Das Supremum ist ja immer größergleich jedem Wert, den du bekommen kannst, wenn du einen speziellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Wert einfach mal einsetzt. Fällt dir ein (von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängiger) Wert ein, den du in diesen Ausdruck mal einsetzen könntest ? Ein bisschen Probieren schadet da nicht.

24.04.2015, 11:23

Clauli

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Okay

hab mir schon gedacht, dass das nicht genau das war, was du gemeint hast.

Also kann ich dann zB x=2n sagen.
und sup|n*arctan(2)-2n|=n*sup|arctan2-2| was ja für n gegen unendlich, gegen unendlich konvergiert?

24.04.2015, 11:42

Guppi12

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Das Sup ist nach dem Einsetzen dann unangebracht. Du erhälst einen Ausdruck, der kleiner ist, als das Supremum über alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Aber ja, damit hast du eine untere Schranke, die beliebig groß wird, wenn $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ . (Das müsste ja noch nicht einmal sein, es würde eine viel schwächere Aussage reichen).

24.04.2015, 18:33

Clauli

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Okay noch ein Versuch smile

Für x:=n
$\begin{eqnarray*} sup_{x\in \mathbb R } |n*arctan(x/n)-x|\geq |n*arctan(1)-n|=n*|arctan(1)-1|=n*|\frac{\pi }{4} -1| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } n*|\frac{\pi }{4} -1|=\infty \Rightarrow \lim_{n \to \infty } sup_{x\in \mathbb R } |n*arctan(x/n)-x|=\infty \end{eqnarray*}$

24.04.2015, 18:37

Guppi12

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24.04.2015, 18:46

Clauli

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Juhuuu

Danke!!!!!

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