Flächenberechnung des Sinus der Rotation um y-Achse

23.04.2015, 21:47

DrHWI

Flächenberechnung des Sinus der Rotation um y-Achse

Meine Frage:
Hallo! Wink

Ich übe gerade wieder und weiß nicht ganz, wie ich mit folgender Aufgabe verfahren soll.

Man berechne das Volumen, das durch Drehung der Kurve $\begin{eqnarray*} y(x) = sin(x) \end{eqnarray*}$ um die y-Achse in den Grenzen $\begin{eqnarray*} x_1=0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} x_2=\pi \end{eqnarray*}$ und den zugehörigen y-Werten entsteht.

Meine Ideen:
Normalerweise habe ich kein Problem mit Flächenberechnung. Ich stelle ja zuerst die Umkehrfunktion auf, also $\begin{eqnarray*} x=arcsin(y) \end{eqnarray*}$
Dann berechne ich meine y-Werte. $\begin{eqnarray*} y_1(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ . Und genau da tritt mein Problem auf. Ich kann ja kaum mein Integral von 0 bis 0 integrieren. unglücklich

Kann mir jemand verraten, was ich hierbei tun kann?

Bin sehr dankbar für jegliche Hilfe! smile

23.04.2015, 22:50

Dopap

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wie soll denn dein Volumenintegral aussehen?

23.04.2015, 22:54

outSchool

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Hallo,

skizziere doch mal die Kurve, die für die Funktion $\begin{align*} \sin(x) \end{align*}$ in den Grenzen $\begin{align*} x_{1} = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} x_{2} = \pi \end{align*}$ entsteht.

Rotiere ich jetzt diesen Sinusbogen um die y-Achse, dann sind die Grenzen $\begin{align*} y_{1} = 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} y_{2} = ? \end{align*}$ und nicht $\begin{align*} y_{2} = \pi \end{align*}$ .

Leider zu spät, ich ziehe mich wieder zurück.

23.04.2015, 23:32

Dopap

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Da die Fragestellerin evtl. schon das Haupt bettet dies vorab:

Ich sehe da ein Problem:
der Sinus hat im Intervall 0 bis pi keine Umkehrfunktion.

wäre das Intervall von 0 bis pi/2 könnte man Volumen "oberhalb" bestimmen, und diese "Linse" vom Zylinder abziehen.

$\begin{eqnarray*} V_y^{*} = \pi (\pi/2)^2 - \int_0^1 \,\pi x^2 \dd y \end{eqnarray*}$

------------------------------------------------------------

nun wieder zum Original: Ich würde das Volumen als Summe dünner Hohlzylinder berechnen.

Wie sieht das Integral dazu aus ?

------------------
@outschool: hast du noch eine andere ( bessere ) Idee ?

24.04.2015, 00:56

outSchool

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@dopap: Ich würde das Volumen abschnittsweise bestimmen.
Wäre das Ergebnis ein Donut, würde ich die 2. Hälfte nehmen.

24.04.2015, 01:03

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Man könnte die Zweite Guldinsche Regel nehmen: Das Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem Inhalt der auf einer Seite der Drehachse liegenden erzeugenden Fläche und der Länge des Weges, den der Flächenschwerpunkt bei einer vollen Drehung um die Rotationsachse zurücklegt.

27.04.2015, 22:12

DrHWI

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Im Voraus, entschuldigt meine späte Reaktion! Meine Frage ist allerdings noch immer offen.

Mh...als "Summe dünner Hohlzylinder"? Klingt für mich, wie die Summierung Rechtecken, nur dass sie gedreht wurden? Hammer

27.04.2015, 22:59

Dopap

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ja, ein dünner Hohlzylinder ist ein Hohlzylinder mit Wandstärke $\begin{eqnarray*} \dd r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd V =\underbrace{ 2\pi r}_{U} h \, \dd r \end{eqnarray*}$

Demnach gilt:

$\begin{eqnarray*} V_y=2\pi \int_0^\pi x \sin (x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

27.04.2015, 23:34

Leopold

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Es wäre aber auch mit deinem ursprünglichen Ansatz gegangen:

[attach]37872[/attach]

$\begin{align*} V = \pi \cdot \left( \int_0^1 \left( \pi - \arcsin y \right)^2 ~ \dd y - \int_0^1 \arcsin^2 y ~ \dd y \right) = \pi \cdot \int_0^1 \left( \left( \pi - \arcsin y \right)^2 - \arcsin^2 y \right) ~ \dd y \end{align*}$

$\begin{align*} = \pi^2 \cdot \int_0^1 \left( \pi - 2 \arcsin y \right) ~ \dd y \end{align*}$

Ist natürlich nicht unbedingt leichter ...

28.04.2015, 00:23

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Der Vollstaendigkeit halber: Guldin ergibt als dritte Loesungsmoeglichkeit $\begin{eqnarray*} V=\pi^2\int_0^\pi\sin x\,dx \end{eqnarray*}$ .

28.04.2015, 14:02

Dopap

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das Problem ist, dass die Fragestellerin wohl etwas schematisch an die Sache rangeht :

ich stelle ja zuerst mal die Umkehrfunktion auf

ohne sich um das zu kümmern, was das Wesentliche eines Rotationsvolumens ist . Nimmt man das ernst kommt man auf die simple Lösung mit Guldin.

Falls nicht bekannt, geht auch die Lösung mit dem Integral der Hohlzylinder.

Ja und die Lösung von Leopold ist schon ziemlich künstlich, jedenfalls nix was sich a priori anbietet. Den Ansatz, die Umformungen und eine Stammfunktion muss man erst mal finden.

28.04.2015, 16:05

Leopold

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Zitat:

Original von Dopap
Ja und die Lösung von Leopold ist schon ziemlich künstlich, jedenfalls nix was sich a priori anbietet.

Welchen Zugang man als natürlich oder künstlich empfindet, darüber kann man immer trefflich streiten. Und bis zu einem gewissen Grad ist das auch eine Geschmackssache. Ich jedenfalls würde den von mir beschriebenen Zugang als natürlich bezeichnen, was nicht heißt, daß er rechentechnisch der einfachste ist. Schneidet man nämlich beim Niveau $\begin{align*} y \in [0,1] \end{align*}$ parallel zur Grundfläche durch den Körper, erhält man als Schnittfläche einen Kreisring. Für $\begin{align*} r,R \end{align*}$ als innerem beziehungsweise äußerem Kreisradius gilt (siehe Figur aus meinem ersten Beitrag):

$\begin{align*} r = r(y) = \arcsin y \, , \ \ R = R(y) = \pi - \arcsin y \end{align*}$

Die Schnittfläche hat daher den Inhalt:

$\begin{align*} A(y) = \pi \cdot \left( R^2 - r^2 \right) \end{align*}$

Und die Integration über die Schnittflächen liefert das Volumen:

$\begin{align*} V = \int_0^1 A(y) ~ \dd y \end{align*}$

Daß dieser Zugang besonders elegant oder kreativ ist, würde ich nicht behaupten. Aber er erscheint mir dennoch nicht künstlich.

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