Metrik erzeugt Produkttopologie?

23.04.2015, 23:05	topolo	Auf diesen Beitrag antworten »
Metrik erzeugt Produkttopologie? Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} A=\left\{0,1,2\right\}^{\mathbb{Z}} \end{eqnarray}$ und $T$ die Produkttopologie auf A. Ein $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ ist eine Folge der Form $\begin{eqnarray} (\infty,a_{-2},a_{-1},a_0,a_1,a_2,\ldots) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_i\in\left\{0,1,2\right\} \end{eqnarray}$ . Schreibe $\begin{eqnarray} a_{[-k,k]} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} (a_{-k},...,a_0,...,a_k) \end{eqnarray}$ . Betrachte folgende Metrik auf $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} d(x,y):=\begin{cases}2^{-k}\text{ mit k maximal, sodass }x_{[-k,k]}=y_{[-k,k]}, & x\neq y\\0, & x=y\end{cases} \end{eqnarray}$ . --- Zeige, dass die Metrik d die Produkttopologie T auf A erzeugt. Meine Ideen: Also ich weiß, dass die offenen Kugeln $\begin{eqnarray} B_{\varepsilon}(x):=\left\{y\in X: d(x,y)<\varepsilon\right\} \end{eqnarray}$ als Basis eine Topologie auf X erzeugen. Andererseits erzeugen Zylindermengen der Form $\begin{eqnarray} \left\{x\in X: [x_i...x_{i+n}]=a_i...a_{i+n}\right\} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a_j, i\leq j\leq i+n,\in X \end{eqnarray}$ als Basis die Produkttopologie auf X. Also muss ich wohl zeigen, dass man jede Zylindermenge als offene Kugel darstellen kann?

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