Äquivalenzrelationen auf einer Gruppe

24.04.2015, 10:55

Alex13

Äquivalenzrelationen auf einer Gruppe

Liebe Mathe Community,

ich habe wieder mal Schwierigkeiten einen Teil meines Mathe Skriptes zu verstehen und würde mich freuen, wenn ihr mir ein wenig helfen könntet. Hier also mein Beispiel:

Es sei G = ( $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ,+) eine Gruppe und U = (3 $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ,+) eine Untergruppe von G.

Wir definieren folgende Äquivalenzrelation auf G:
$\begin{eqnarray*} g_1 \sim g_2 \Leftrightarrow -g_1 + g_2 \in 3\mathbb{Z} \Leftrightarrow g_2 \in g_1 + 3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

Beispiel für die betrachtete Mengen:
G = {...,-1,0,1,2,...}
U = {...,-3,0,3,6,...}
G/U = $\begin{eqnarray*} \{\overline{0},\overline{1},\overline{2}\} \end{eqnarray*}$

Die Äquivalenzklasse von einem $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ist:
$\begin{eqnarray*} g+U := \{h \in G | \exists u \in U : h = g + u \} \end{eqnarray*}$

Frage
Könntet ihr mir ein Beispiel geben wie sich jetzt z.B. die Äquivalenzklasse g=0 und g=1 berechnet? (Am besten anhand meines Beispiels sofern es denn korrekt ist.)

24.04.2015, 11:06

RavenOnJ

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RE: Äquivalenzrelationen auf einer Gruppe
Wie wärs, wenn du erst mal selber was lieferst? Benutze doch einfach die von dir angegbenen Definitionen. Wo ist die Schwierigkeit?

24.04.2015, 12:10

Alex13

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Das ist kein Beispiel was ich aus meinem Skript abgeschrieben habe. Das Beispiel habe ich mir selber erstellt (Vorlage war allgemein gehaltenes Beispiel aus meinem Skript).
Die Formeln sind natürlich auch aus dem Skript entnommen.

Ich habe auch nicht den Anspruch, dass hier jemand für mich denkt aber ein kleiner Tipp damit ich weiterkomme würde schon helfen.

24.04.2015, 12:37

RavenOnJ

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Es stehen schon genügend Tipps in den Definitionen. Du solltest also offenbar erstmal die Definitionen verstehen, dann kommst du auch weiter.

Da steht:

Zitat:

Original von Alex13

Die Äquivalenzklasse von einem $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ist:
$\begin{eqnarray*} g+U := \{h \in G | \exists u \in U : h = g + u \} \end{eqnarray*}$

Benutze das mal.

24.04.2015, 13:34

Alex13

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Also: h = g + u
Für g=1 hieße das:
...
1 = 1 + 0
4 = 1 + 3
7 = 1 + 6
...

Demnach ist die Äquivalenzklasse von g=1: $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$
g=1: {...,1,4,7,...}

Ist das korrekt?

24.04.2015, 13:40

RavenOnJ

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Geht doch

24.04.2015, 13:49

Alex13

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Danke. Manchmal hilft es offenbar das Problem einfach aufzuschreiben.

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