Offene, kompakte Teilmenge

24.04.2015, 14:58

RavenOnJ

Offene, kompakte Teilmenge

Kann mir mal jemand sagen, was eine "offene, kompakte Teilmenge" sein soll? Dies wird dort mehrfach benutzt, ist also kein Schreibfehler:
https://www3.mathematik.tu-darmstadt.de/...pitel4_kurz.pdf
auf Seite 11.

In meinem Verständnis sind kompakte Teilmengen immer abgeschlossen, was im Regelfall (nicht diskrete Topologie o.ä.) ein Widerspruch zu offen wäre.

24.04.2015, 15:37

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

In meinem Verständnis sind kompakte Teilmengen immer abgeschlossen

Das ist auch in jedem Haudorffraum richtig und soweit ich gesehen habe, ist die Hausdorffeigenschaft in dem Pdf eine Grundannahme.

Es geht hier eher darum, dass der von dir angenommene Regelfall nicht dem Inhalt von Abschnitt 4.4 entspricht.
Wenn eine nichtleere echte Teilmenge eines topologischen Raums offen und abgeschlossen ist, dann kann man darauf schließen, dass der umgebende Raum nicht zusammenhängend ist. Nun geht es in Abschnitt 4.4 aber sogar um total unzusammenhängende Räume. Dort sind offene und gleichzeitig abgeschlossene Mengen also keine Besonderheit.

Nimm dir als Beispiel $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit der von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierten Teilraumtopologie. Das ist ein total unzusammenhängender Raum (der allerdings nicht lokalkompakt ist). Jede Menge der Art $\begin{eqnarray*} (a,b)\cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ das gewöhnliche reelle Intervall und $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ irrationale Zahlen sind, ist gleichzeitig offen und abgeschlossen. Offen ist klar. Abgeschlossen deshalb, weil sie sich gleichzeitig auch als $\begin{eqnarray*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ schreiben lässt.

Ich hatte dich jetzt so verstanden, dass dir zunächst die gleichzeitig offenen und abgeschlossenen Mengen ungewöhnlich vorkamen. Deswegen ein (so hoffe ich) nicht total exotisches Beispiel, wo solche Mengen nichts besonderes sind. Wenn es dir stattdessen wirklich um kompakte offene Mengen geht, müsste ich noch etwas nachdenken.

24.04.2015, 16:09

RavenOnJ

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hallo Guppi,

ok, dein Beispiel ist klar, mein "Widerspruch" ist also kein wirklicher. Es ging mir aber eher um Teilmengen, die offen und gleichzeitig kompakt sind.

Wenn wir mal bei deinem Beispiel bleiben, dann ist ja $\begin{align*} [a,b]\subset \mathbb R \end{align*}$ kompakt, erlaubt also zu jeder offenen Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung. Dies überträgt sich doch auf $\begin{align*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{align*}$ in der induzierten Topologie, d.h. auch $\begin{align*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{align*}$ wäre dann kompakt und zugleich offen, da $\begin{align*} [a,b]\cap \mathbb Q = (a,b)\cap \mathbb Q, a,b\in\mathbb R\setminus \mathbb Q \end{align*}$ .

Aber, ist das generell so, dass die Existenz offener, kompakter Teilmengen als Voraussetzung hat, dass der Raum total unzusammenhängend ist? Oder existieren solche Teilmengen auch, wenn der Raum nicht total unzusammenhängend ist? Oder auch andersrum: Gibt es in jedem total unzusammenhängenden Raum offene, kompakte Teilmengen? Das ist mir immer noch nicht ganz klar.

24.04.2015, 16:23

Guppi12

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Nein, die Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ überträgt sich nicht auf $\begin{eqnarray*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil im ersten Fall auch $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ selbst von Überdeckungen getroffen werden müssen. Das ist im zweiten Fall nicht mehr so, was es erlaubt, Überdeckungen ohne endliche Teilüberdeckung zu konstruieren.

Zitat:

ok, dein Beispiel ist klar, mein "Widerspruch" ist also kein wirklicher. Es ging mir aber eher um Teilmengen, die offen und gleichzeitig kompakt sind.

Ok, dann habe ich deinen Beitrag dahingehend falsch interpretiert, tut mir Leid. Dafür müsste ich wie gesagt noch etwas überlegen, das werde ich gleich tun.

Zitat:

Aber, ist das generell so, dass die Existenz offener, kompakter Teilmengen als Voraussetzung hat, dass der Raum total unzusammenhängend ist?

Nein, hier fallen mir aber leider gerade nur etwas gekünstelte Beispiele ein. $\begin{eqnarray*} [0,1]\cup[2,3] \end{eqnarray*}$ ist beispielsweise wieder mit Teilraumtopologie ein nicht totalunzusammenhängender Raum. Aber beide Zusammenhangskomponenten sind offen und abgeschlossen gleichzeitig. (In diesem Fall sogar kompakt.)

Zitat:

Gibt es in jedem total unzusammenhängenden Raum offene, kompakte Teilmengen?

Nein, mein Beispiel oben ist dafür sogar ein Gegenbeispiel. Jetzt mal abgesehen von der leeren Menge gibt es dort keine offene, kompakte Teilmenge, denn dies würde in diesem Fall Lokalkompaktheit implizieren, welche nicht gegeben ist. (Ist eine solche Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gegeben und ist $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , so gibt es $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} a\in b+M \end{eqnarray*}$ , welches dann eine kompakte Umgebung von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ wäre. Also wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ lokalkompakt.)

24.04.2015, 16:32

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
Nein, die Kompaktheit von $\begin{eqnarray*} [a,b]\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ überträgt sich nicht auf $\begin{eqnarray*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil im ersten Fall auch $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ selbst von Überdeckungen getroffen werden müssen. Das ist im zweiten Fall nicht mehr so, was es erlaubt, Überdeckungen ohne endliche Teilüberdeckung zu konstruieren.

Mist, wieder daneben Augenzwinkern

. Klar, man kann ja eine unendliche Überdeckung von $\begin{align*} (a,b) \end{align*}$ konstruieren, die keine endliche Teilüberdeckung erlaubt und $\begin{align*} [a,b] \end{align*}$ nicht überdeckt, aber dafür $\begin{align*} [a,b]\cap \mathbb Q \end{align*}$ .

24.04.2015, 16:43

Guppi12

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Schöne Beispiele totalunzusammenhängender lokalkompakter Räume scheinen nicht leicht zu finden zu sein. Wikipedia gibt die Cantormenge an (welche ich jetzt nicht besonders anschaulich finde).

Dort könnte man sich offene und gleichzeitig kompakte Mengen wohl ähnlich basteln, wie im $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ -Beispiel die offenen und abgeschlossenen Mengen, weil hier abgeschlossene Mengen automatisch auch kompakt sind.

Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} a,b\in[0,1] \end{eqnarray*}$ nicht in der Cantor-Menge C liegen, so müsste $\begin{eqnarray*} [a,b]\cap C \end{eqnarray*}$ offen und kompakt sein, wenn mich nicht alles täuscht.

24.04.2015, 17:04

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12
Wenn zum Beispiel $\begin{eqnarray*} a,b\in[0,1] \end{eqnarray*}$ nicht in der Cantor-Menge C liegen, so müsste $\begin{eqnarray*} [a,b]\cap C \end{eqnarray*}$ offen und kompakt sein, wenn mich nicht alles täuscht.

Über diese Aussage werde ich noch nachdenken. Auf alle Fälle danke erst mal. Wink

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