Sei G eine Gruppe, zeige, dass die Abbildung f : G -> G, x |-> x0 o x bijektiv ist

24.04.2015, 17:11	DiMa Guy	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei G eine Gruppe, zeige, dass die Abbildung f : G -> G, x \|-> x0 o x bijektiv ist a) Sei $\begin{eqnarray} (G,\circ) \end{eqnarray}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray} x_{0} \in G \end{eqnarray}$ . Zeige, dass die Abbildung $\begin{eqnarray} f : G \rightarrow G<br /> x \mapsto x_{0} \circ x \end{eqnarray}$ bijektiv ist. Das ist die Aufgabenstellung. Ich weiß, was eine Gruppe ist und kenne die Eigenschaften (Abgeschlossen, Assoziativ, Neutralelement, Inverselement) und ich weiß, was bijektiv heißt, aber wie kann ich das zeigen? Außerdem verwirrt, mich, dass hier keine konkrete Verknüpfung steht sondern nur allgemein $\begin{eqnarray} \circ \end{eqnarray}$ . Weiters gibt es auch noch Aufgabenstellung b), aber ich möchte zuerst mal a) schaffen, muss ich wahrscheinlich auch. b) Folgere daraus, dass die Zahlen a, 2a,..., (p-1)a alle verschiedene Reste modula p haben, wenn p eine Primzahl und $\begin{eqnarray} a \not\equiv 0 \mod p \end{eqnarray}$ ist.
24.04.2015, 17:30	RavenOnJ	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sei G eine Gruppe, zeige, dass die Abbildung f : G -> G, x \|-> x0 o x bijektiv ist Zur Injektivität: Überleg mal, was wäre, wenn die Abbildung nicht injektiv wäre. Oder anders: Wenn du zwei Elemente $\begin{align} g,h\in G \end{align}$ hast mit $\begin{align} g\not= h \end{align}$ , warum dann $\begin{align} x_0\circ g\not=x_0\circ h \end{align}$ gelten muss. Es steht dort ganz allgemein $\begin{align} \circ \end{align}$ ohne konkrete Gruppentafel, weil die Aussage ganz allgemein für jede Gruppe gilt.
24.04.2015, 17:56	DiMa Guy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Sei G eine Gruppe, zeige, dass die Abbildung f : G -> G, x \|-> x0 o x bijektiv ist Danke, ich habe es inzwischen verstanden!

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