Standardabweichung der Durchlaufzeit

25.04.2015, 14:26	Anld	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardabweichung der Durchlaufzeit Meine Frage: Hallo zusammen, ich arbeite gerade an meiner Masterarbeit, bei der ich ein Excel Tool für die Distributionslogistik entwickle. Für meine Berechnung benötige ich einen Wert aus der folgenden Formel (s. Anhang). Ich benötige die Standardabweichung der Durchlaufzeit. Die anderen Werte (Termintreue, mittlere Durchlaufzeit und die Grenzen) sind gegeben. Meine Ideen: Mir ist bereits klar, dass die Werte in Klammern einen Wert ergeben den man aus der Standardnormalverteilungstabelle rauslesen kann. (Dies könnte man theoretisch über die Excelfunktion "=standardnormvert" lösen.) Allerdings stehe ich total auf dem Schlauch, wie man die Werte für die Standardabweichung extrahiert. Vielen Dank für eure Hilfe
25.04.2015, 15:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegen die Grenzen $\begin{align} ZDL^- \end{align}$ und $\begin{align} ZDL^+ \end{align}$ symmetrisch bzgl. den Mittelwertes $\begin{align} ZDL_m \end{align}$ , d.h. $\begin{align} ZDL_m = \frac{ZDL^- + ZDL^+}{2} \end{align}$ , dann lässt sich die Gleichung (aufgrund der ebenfalls vorhandenen Symmetrie der Normalverteilung) nach $\begin{align} \sigma_{ZDL} \end{align}$ algebraisch auflösen. Ist das nicht der Fall (wie in deiner Skizze), dann wird man um ein Näherungsverfahren zur Bestimmung von $\begin{align} \sigma_{ZDL} \end{align}$ (z.B. Newton) nicht herumkommen.
25.04.2015, 22:37	Anld	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstmal vielen Dank für deine Hilfe. Die Grenzen müssen nicht zwangsläufig symetrisch sein, da es sich um Eingabefelder handeln soll. Wie würde ich an dieser Stelle das Nährungsverfahren von Newton anwenden? Oder wie würde die Lösung aussehen wenn die Grenzen symetrisch sind? Ich stehe total auf dem Schlauch.
29.04.2015, 11:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, betrachten wir zunächst den symmetrischen Fall $\begin{align} ZDL_m = \frac{ZDL^- + ZDL^+}{2} \end{align}$ , wie er auch häufig bei zweiseitigen Konfidenzintervallen vorkommt: Mit Abkürzung $\begin{align} z:=\frac{ZDL^+-ZDL_m}{\sigma_{ZDL}} \end{align}$ ist dann $\begin{align} \frac{ZDL^--ZDL_m}{\sigma_{ZDL}}=-z \end{align}$ , und damit folgt unter Nutzung der Symmetrie $\begin{align} \Phi(-z)=1-\Phi(z) \end{align}$ : $\begin{align} TT = \Phi(z)-\Phi(-z) = 2\Phi(z)-1 \end{align}$ , d.h. nach Umstellung $\begin{align} z = \Phi^{-1}\left( \frac{TT+1}{2} \right) \end{align}$ mit Quantilfunktion $\begin{align} \Phi^{-1} \end{align}$ der Standardnormalverteilung, die Statistiker schreiben statt $\begin{align} \Phi^{-1}(\alpha) \end{align}$ auch gern nur $\begin{align} z_{\alpha} \end{align}$ dafür. Wenn wir unser $\begin{align} z \end{align}$ rücksubstituieren und nach dem gesuchten $\begin{align} \sigma_{ZDL} \end{align}$ umstellen, erhalten wir $\begin{align} \sigma_{ZDL} = \frac{ZDL^+-ZDL_m}{z} = \frac{ZDL^+-ZDL_m}{z_{\frac{TT+1}{2}}}\qquad () \end{align}$ Im unsymmetrischen Fall geht das offensichtlich nicht so einfach. Man könnte z.B. das Newton-Verfahren zur Nullstellensuche anwerfen, angewandt auf die Funktion $\begin{align} f(u):= \Phi((ZDL^+-ZDL_m)u)-\Phi((ZDL^--ZDL_m)u)-TT \end{align}$ dabei ist $\begin{align} u = \frac{1}{\sigma_{ZDL}} \end{align}$ die gesuchte Nullstelle. Dann wäre ein Iterationsschritt $\begin{align} u_{n+1} = u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)} = u_n - \frac{\Phi((ZDL^+-ZDL_m)u_n)-\Phi((ZDL^--ZDL_m)u_n)-TT}{(ZDL^+-ZDL_m)\varphi((ZDL^+-ZDL_m)u_n)-(ZDL^--ZDL_m)\varphi((ZDL^--ZDL_m)u_n)} \end{align}$ mit Dichte=Ableitung $\begin{align} \varphi(x) = \Phi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} \end{align}$ . Ein passender Startwert wäre z.B. wenn man mit den gegebenen $\begin{align} ZDL^+,ZDL^- \end{align}$ zunächst mal Symmetrie annehmen würde, d.h. mit einem "anderen" $\begin{align} ZDL_m^* := \frac{ZDL^- + ZDL^+}{2} \end{align}$ und Formel () einen passenden Startwert $\begin{align} u_0 \end{align}$ der Rekursion ermittelt. In Excel könntest du auch mit diesem Feature "Zielwertsuche" experimentieren, aber dazu gebe ich dir keine Beratung: Kollegen von mir (Nichtmathematiker) schwören darauf, aber mir ist das ganze da etwas suspekt.
01.05.2015, 12:44	Anld	Auf diesen Beitrag antworten »
logische Folge? Nachdem ich über die Antwort erst einmal schlafen musste, an dieser Stelle vielen Dank nochmal für die sehr ausführliche Antwort, konnte ich die Schritte heute nachvollziehen (zumindest die für den Symetrischen Fall) --> Werde wohl auch nur den Symetrischen Fall umsetzen. Ich konnte dies auch in Excel schon umsetzen. Allerdings verstehe ich rein logisch nicht, warum eine kleine Termintreue (nahe 0%) zu einer sehr hohen Standardabweichung führt und eine hohe Termintreue (nahe 100%) zu einer sehr niedrigen. Kannst du mir da weiterhelfen? Die Formel an sich verstehe ich, allerdings ist mir wie schon gesagt die Auswirkung nicht so ganz klar.
01.05.2015, 13:51	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist doch sonnenklar: Wenn im ansonsten gleichen Intervall $\begin{align} [ZDL^-,ZDL^+] \end{align}$ weniger Anteil enthalten ist, muss außen mehr sein - sprich, die Verteilung ist breiter angelegt, d.h. höhere Standardabweichung (welche ein Maß für die Breite der Verteilung ist).
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