Zeigen sie det(A) = det(B) = 0

25.04.2015, 12:51	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen sie det(A) = det(B) = 0 Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ein beliebiger Körper und $\begin{eqnarray} A,B \in Mat_K(n \times x) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \neq 0 , B \neq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A \cdot B = 0 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass dann $\begin{eqnarray} det(A) = det(B) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B) = 0 \end{eqnarray}$ Ein Produkt ist Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. $\begin{eqnarray} \Rightarrow det(A) = 0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} det(B) = 0 \end{eqnarray}$ o.B.d.A können wir jetzt annehmen, dass $\begin{eqnarray} det(A) = 0 \end{eqnarray}$ , da der Beweis für $\begin{eqnarray} det(B) = 0 \end{eqnarray}$ analog verliefe. $\begin{eqnarray} \Rightarrow A \end{eqnarray}$ hat kein Inverses. Ab hier weiß ich nicht mehr weiter... Was mache ich jetzt mit dieser Information? Ich habe mein LA2-Skript durchgeschaut und nichts gefunden, was mir dazu weiter hilft... Oder ist der Ansatz so schon falsch? Mein erster Gedanke war irgendwie zu zeigen, dass eine der beiden Matrizen zwei identische Zeilen/Spalten hat, aber das muss ja nicht notwendigerweise so sein, oder? Ich wäre für eine kleine Hilfestellung überaus dankbar! Cheerio und schönes Wochenende!
25.04.2015, 13:02	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn das x in $\begin{eqnarray} Mat_K(n\times x) \end{eqnarray}$ eigentlich ein n sein sollte, bietet sich ein Widerspruchsbeweis an. Nimm $\begin{eqnarray} det(A)\neq0 \end{eqnarray}$ , also A invertierbar, an und folgere daraus, dass B=0 gelten muss.
25.04.2015, 13:03	Captain Kirk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich denke nicht, dass dein Ansatz zielführend ist. Zeige (per Widerspruch) dass A und B nicht invertierbar sein.

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