Integration von 1/x mit Riemann Summe

25.04.2015, 16:30

PcIv

Integration von 1/x mit Riemann Summe

Hallo liebes Matheboard,
Ich komme bei einer Aufgabe zur Berechnung des Integrals über die Riemann-Summe von 1/x in den Grenzen 1 bis a nicht weiter. Ich benutze die Formel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} x(psi)*L(I(k)) \end{eqnarray*}$

Dabei sind x(psi) die Stützstellen und L(I(k)) die Längen der Intervalle.
Als Tipp wurde uns geraten die Zerlegung Pn (x0,x1...xn) mit xk= a^(k/n) zu wählen und die Stützstellen x(psi)= (x(k-1)) mit k=1,...,n.
Mein Ansatz:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} a^{-\frac{k-1}{n} } \left(a^{\frac{k}{n} } - a^{\frac{k-1}{n} } \right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich das berechne komme ich aber nur auf $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ob ich das mit der Intervalllänge richtig gemacht habe, aber mir erscheint es logisch. Ich stehe auf dem Schlauch... In einem anderen Forum habe ich ein Lösungsansatz gesehen bei dem die gleichen Stützstellen, aber eine Konstante Intervalllänge von (a-1)/n gewählt wurde. Das macht für mich keinen Sinn, weil das doch so nur bei äquidistanter Zerlegung funktioniert? Verfolgt man diesen Ansatz trotzdem kommt man mit der geometrischen Reihenformel auf:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{(1-a)^2}{a} \cdot \frac{1}{n*(a^{\frac{1}{n} }-1 )} \end{eqnarray*}$

Da kommt als Grenzwert im Nenner immerhin schon mal der ln(a) aber eben im Nenner und zusätzlich noch mit den anderen Termen.

Ich bin verwirrt, ich dachte eigentlich ich habe das Thema verstanden!

Kann mir jemand helfen?

Danke!

Pascal

25.04.2015, 17:12

Helferlein

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RE: Integration von 1/x mit Riemann Summe

Zitat:

Original von PcIv

Wenn ich das berechne komme ich aber nur auf $\begin{eqnarray*} a^{\frac{1}{n} } \end{eqnarray*}$

Und der zweite Teil der Summe fällt weg?

25.04.2015, 17:17

PcIv

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RE: Integration von 1/x mit Riemann Summe
Also ich habe das so gerechnet:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} a^{-\frac{k-1}{n} } \left(a^{\frac{k}{n} } - a^{\frac{k-1}{n} } \right) = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} \left(a^{\frac{k-k+1}{n} } - a^{\frac{k-k-1+1}{n} } \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} a^{1/n} \end{eqnarray*}$

Welchen Teil meinst du?

25.04.2015, 21:38

Helferlein

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Und wo ist das $\begin{eqnarray*} a^0 \end{eqnarray*}$ hin?

26.04.2015, 02:53

PcIv

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Ah!!! Da sitze ich stundenlang an der Aufgabe und scheitere an sowas! Vielen Dank Helferlein!!!

$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} a^{1/n} - 1 = \lim_{n \to \infty } n\cdot a^{\frac{1}{n} } -n = ln(a) \end{eqnarray*}$

11.05.2016, 17:34

Schnappschildkröte

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Hierzu mal eine Verständnisfrage: Den letzten Schritt verstehe ich nicht?

12.05.2016, 15:31

Schnappschildkröte

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Zitat:

Original von PcIv
$\begin{eqnarray*} = \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{k=1}^{n} a^{1/n} - 1 = \lim_{n \to \infty } n\cdot a^{\frac{1}{n} } -n = ln(a) \end{eqnarray*}$

Weiß jemand, warum das letzte Gleichheitsszeichen gilt?

12.05.2016, 16:37

IfindU

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$\begin{eqnarray*} n \cdot a^{\frac 1 n } - n = \frac { a^{\frac 1 n } - a^0 } {\frac 1 n} \end{eqnarray*}$ .

Es ist also ein Differenzenquotient von $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ an der Stelle $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ . Die Ableitung davon ist leicht berechnet, und damit obiger Grenzwert.

12.05.2016, 16:48

Schnappschildkröte

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Ah, cool.

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