Bestimmung des Logarithmus einer Diagonalmatrix mit Nullzeile

25.04.2015, 16:41

Gast1001

Bestimmung des Logarithmus einer Diagonalmatrix mit Nullzeile

Meine Frage:
Guten Tag,
also ich habe hier eine Matrix wie folgt:
$\begin{eqnarray*} \rho = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \end{eqnarray*}$
mit Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$ also als Diagonalmatrix:
$\begin{eqnarray*} \rho_D = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun soll ich folgendes zeigen:
$\begin{eqnarray*} -Tr\left[\rho \ln \rho \right] = 0 \end{eqnarray*}$

Ich weiß jedoch weder wie ich den Logarithmus der Ursprünglichen Matrix, noch den der Diagonalmatrix bestimmen soll.

Meine Ideen:
Auf Wikipedia habe ich gelesen, dass man den Logarithmus der Matrix $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ bestimmen kann, indem man sie diagonalisiert und dann jeweils den Logarithmus der Diagonalelemente bestimmt also
$\begin{eqnarray*} A_D = \begin{pmatrix} a_{11} & 0 \\ 0 & a_{22} \end{pmatrix} \Rightarrow \ln A = \begin{pmatrix} \ln (a_{11}) & 0 \\ 0 & \ln(a_{22}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich jetzt in meinem Fall
$\begin{eqnarray*} \ln \rho = \begin{pmatrix} \ln (1) & 0 \\ 0 & \ln(0) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber was mache ich jetzt mit dem $\begin{eqnarray*} \ln (0) \end{eqnarray*}$
Der ist ja nicht definiert und ich kann die Spur nicht bilden.

Wäre nett wenn mir jemand erklären könnte wie ich da vorgehen muss, oder was ich falsch gemacht habe. Danke schon mal.

25.04.2015, 17:00

Captain Kirk

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Hallo,

wie habt ihr denn in der Vorlesung den Log einer Matrix A definiert?

Gemeinhin definiert man das als die Matrix b mit exp(B) =A.

Und damit aus der Matrix, aus den Gründen die du angibst, nicht den Logarithmus ziehen.

25.04.2015, 18:15

Gast1001

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Also definiert haben wir den Logarithmus der Matrix in der Vorlesung gar nicht explizit (ich habe gerade das Skript nochmal durchgeblättert). In der Übung wurde lediglich mal gesagt, das der Logarithmus einer Matrix A (falls diese konvergiert) über seine Reihenentwicklung definiert ist mit:

$\begin{eqnarray*} \ln A = \sum\limits_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{1+m}}{m} (A-1)^{m} \end{eqnarray*}$

Also die eigentliche Aufgabe ist eine Aufgabe aus der statistischen Physik:

Die von-Neumann-Entropie ist definiert als
$\begin{eqnarray*} S(\rho) = - Tr \left[\rho \ln \rho\right] \end{eqnarray*}$

Gegeben ist der Zustand
$\begin{eqnarray*} \left|\psi\right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \left|+\right\rangle + \left|-\right\rangle \right) \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} \left|+\right\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}; \quad \left|-\right\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}; \quad \rho = \left|\psi\right\rangle\left\langle\psi\right| \end{eqnarray*}$

Bei $\begin{eqnarray*} \left|\psi\right\rangle \end{eqnarray*}$ handelt es sich um einen reinen Zustand, falls gilt $\begin{eqnarray*} Tr\left[\rho^2\right] = 1 \end{eqnarray*}$ und ich habe berechnet:
$\begin{eqnarray*} \rho^2 = \rho \quad \textnormal{mit} \quad Tr \left[\rho\right] = 1 \quad \Rightarrow \quad \left|\psi\right\rangle \quad \textnormal{ist reiner Zustand} \end{eqnarray*}$

Die dritte Teilaufgabe lautet nun

(c) Zeigen Sie an obigem Beispiel explizit das die von-Neuman-Entropie eines reinen Zustands verschwindet.

Also dachte ich ich Zeige $\begin{eqnarray*} S(\rho) = - Tr \left[\rho \ln \rho\right]=0 \end{eqnarray*}$

Interpretiere ich das jetzt richtig, das ich den Logarithmus von $\begin{eqnarray*} \rho \end{eqnarray*}$ gar nicht bestimmen kann, oder wie muss ich da jetzt vorgehen?

Gibt es bei der beschriebenen Matrix dann überhaupt die Chance das ich den Logarithmus mit $\begin{eqnarray*} e^B = A \end{eqnarray*}$ berechnen kann. Mh eigentlich müsste das mit der ursprünglichen Matrix die ich berechnet habe gehen oder nicht?

25.04.2015, 18:25

Captain Kirk

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Bei Entropiebetrachtung setzt man fast immer 0ln(0)=0.
Du sollst hier genaugenommen nicht ln(A) ausrechnen, sondern Aln(A). Und das existiert mit obiger Konvention.

25.04.2015, 19:18

Gast1001

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Hallo,
danke für den Hinweis, diese Konvention war mir nicht bekannt und wurde, soweit ich mich erinnern kann, auch noch nicht erwähnt. Dann werde ich die Aufgabe damit nochmal versuchen. (Obwohl ich nicht ganz verstehe wieso ich das verwenden darf.)

Kommt man da irgendwie mit der Regel von L'Hospital drauf oder ist das wirklich nur Konvention?

Für eine explizite Berechnung von ln A könnte ich dennoch über die Exponentialdarstellung gehen oder nicht?

25.04.2015, 20:00

Captain Kirk

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Zitat:

(Obwohl ich nicht ganz verstehe wieso ich das verwenden darf.)

Damit wird die Aufgaeb halbwegs sinnvoll, ansonsten wär sie sinnfrei.

Zitat:

Kommt man da irgendwie mit der Regel von L'Hospital drauf oder ist das wirklich nur Konvention?

$\begin{eqnarray*} \lim_{ x\to 0} x ln (x) =0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Für eine explizite Berechnung von ln A könnte ich dennoch über die Exponentialdarstellung gehen oder nicht?

Könntest du, das Ergebnis wird aber das selbe sein, wie das was du bereits hast.

Eine Alternative wäre, dass du dich in den vorigen Aufgaben verrechnet hast.

Edit by IfindU: Du hast wohl aus Gewohnheit LaTeX- statt Quote-Umgebungen gesetzt.

25.04.2015, 20:42

Gast1001

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Hallo Captain Kirk,
ich danke dir. Ich war mir zwar fast sicher das das die Regel von L'Hospital ist, ich hatte den Grenzwert nur nich mehr im Kopf und hatte nicht nachgerechnet, aber danke für die Bestätigung.

Was das verrechnen angeht bin ich mir ziemlich sicher, dass die Matrix stimmt, denn die habe ich zur Sicherheit nochmal nachgerechnet.

Dann wrde ich also nun die Vorgehensweise die du genannt hast verwenden. smile

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