totale Diffbarkeit im Nullpunkt

25.04.2015, 17:43

xaittt

totale Diffbarkeit im Nullpunkt

Hallo

Gegeben ist die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x,y) \mapsto \begin{cases} e^{3(x^2-y^4)}, & x \ge y^2 \\ 1+2(x-y^2)^2, & x < y^2 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass f im Nullpunkt diffbar ist.

Meine Frage: Reicht es zu zeigen, dass die Funktion im Mullpunkt stetig partiell diffbar ist? Gibt ja diesen einen Satz, bin mir aber nicht sicher.

lg

26.04.2015, 11:36

Guppi12

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Hallo,

das würde genügen, denn diesen Satz gibt es. Allerdings wird dafür gefordert, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in einer Umgebung um den betreffenden Punkt überhaupt partiell differenzierbar ist und dies ist hier nicht der Fall. Du kannst den Satz also nicht anwenden. Du wirst hier wohl mit der Definition der Differenzierbarkeit arbeiten müssen. Du kannst allerdings als Kandidaten für das Differential den Gradienten in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ bestimmen. Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist, stimmt das Fréchet-Differential mit dem transponierten Gradienten überein.

26.04.2015, 12:23

anas1

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Hallo,

ich sitze gerade an der gleichen Aufgabe und komme nicht weiter. Wenn ich, wie du sagst den Gradienten bilde komme ich auf

$\begin{eqnarray*} (2*e^{3} *x 4e^{3}*y^{3}) \end{eqnarray*}$ , für den Punkt (0,0) also (0 0).

bzw.

$\begin{eqnarray*} (4x-4y^{2} 8xy+4y^{3}) \end{eqnarray*}$ , für den punkt (0,0) auch (0 0)

zum einen bin ich mir nicht sicher, ob das stimmt und zum anderen weiß ich jetzt nicht, was ich damit anfangen soll...
Wäre super wenn du mir weiterhelfen könntest, haben das Thema gerade erst angefangen.
Lg

Latex korrigiert (Guppi12).

26.04.2015, 12:29

anas1

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oh das mit dem Latex hat nicht so funktioniert...
ich meinte

(2e^3x 4e^3y^3) ergibt für (0,0) (0 0)

und

(4x-4y^2 8xy+4y^3) ergibt auch (0 0)

26.04.2015, 12:31

Guppi12

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Ich kann den Gradienten, den du angegeben hast irgendwie schlecht entziffern, daher weiß ich nicht, ob du ihn richtig berechnet hast. $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ ist jedenfalls richtig.

Zitat:

und zum anderen weiß ich jetzt nicht, was ich damit anfangen soll...

Wie habt ihr denn totale Differenzierbarkeit definiert?

26.04.2015, 12:35

Dopap

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Zitat:

Original von anas1

$\begin{eqnarray*} (2e^{3}x \quad 4e^{3}y^{3}) \end{eqnarray*}$ , für den Punkt (0,0) also (0 0).

bzw.

$\begin{eqnarray*} (4x-4y^{2} \quad 8xy+4y^{3}) \end{eqnarray*}$ , für den punkt (0,0) auch (0 0)

statt Leerzeichen \quad verwenden!

26.04.2015, 12:41

anas1

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also wir haben totale Differenzierbarkeit so definiert

$\begin{eqnarray*} \exists L\in L(\mathbb R^{n}, \mathbb R^{m}): \lim_{x \to a} \frac{f(x)- f(a)- L(x- a}{| x- a | } = 0 \end{eqnarray*}$

Danke fürs editieren Augenzwinkern

26.04.2015, 12:47

Guppi12

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Ok und als Kandidat für $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ haben wir nun die Abbildung, die einen Vektor auf das Skalarprodukt mit dem Gradienten abbildet. Das meinte ich, als ich sagte, dass der Gradient ein Kandidat für das Differential ist.

Du kannst also für $\begin{eqnarray*} L(x-a) \end{eqnarray*}$ einsetzen, was herauskommt, wenn du das Skalarprodukt von $\begin{eqnarray*} x-a \end{eqnarray*}$ mit dem Gradienten bildest.

Danach musst du zeigen, dass dieser Limes existiert. Als Tipp:

Ich würde Hilfsfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1,f_2:\mathbb R^2\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ betrachten, die jeweils auf dem kompletten Definitionsbereich durch eine der Vorschriften gegeben sind, die $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ definieren. Für diese kannst du dann mit dem oben angesprochenen Satz leicht die totale Differenzierbarkeit nachweisen, was dir dann die Existenz des betrachteten Grenzwertes liefern sollte. Oder hast du diesen Satz noch nicht zur Verfügung?
Es geht natürlich auch anders Augenzwinkern

26.04.2015, 13:16

anas1

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ok schon mal vielen Dank für die Hilfestellung das müsste so gehen,

eine Frage habe ich noch zum Skalarprodukt von Vektor x - a mit dem Gradienten,
also a ist in unserem Fall ja (0,0) und x defiere ich als (x, y).
Meinst du dann das Skalarprodukt mit dem Gradienten so:

$\begin{eqnarray*} (x\quad y)\begin{pmatrix} 2e^{3}x \\ 4e^{3}y^{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Latex korrigiert. (Guppi12)

26.04.2015, 13:19

Guppi12

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Also zunächst mal sehe ich jetzt, dass dein Gradient vollkommen falsch ist. (Konnte wie gesagt die Darstellung oben nicht gut entziffern.) Da musst du noch einmal nachrechnen.

Du kannst allerdings wie gesagt den Gradient in 0 einsetzen. Dieser ist gleich (0, 0).
Der Term mit L fällt also komplett weg, da es sich um die 0-Abbildung handelt.

26.04.2015, 13:24

anas1

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ok ja deswegen wollte ich nochmal nachfragen, weil ich nicht wusste, ob man den eingesetzten Gradient nimmt oder die "Formel". Dann rechne ich das mit dem Gradienten nochmal nach, den Rest dürfte ich dann hinbekommen! Vielen lieben Dank!

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