Summe von Vektoren / Vektorräume

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25.04.2015, 18:07	mathefrage123	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von Vektoren / Vektorräume Meine Frage: $\begin{eqnarray} U_{1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_{2} \end{eqnarray}$ sind Untervektorräume des Vektorraumes $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} U=\left\{u_1+u_2\|u_1\in U_1\land u_2\in U_2\right\} \end{eqnarray}$ 1. Wann ist $\begin{eqnarray} U=\mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ? 2. Zeige, dass $\begin{eqnarray} U_1\cup U_2=\{0\} \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: 1. Wenn U eine Basis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist, also U1 und U2 linear unabhängig sind, dann sind sie doch gleich oder? 2. Da habe ich keine Ahnung, wäre froh über einen Ansatz.
25.04.2015, 18:13	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist sicher falsch formuliert. Zuerst ist vom Vektorraum $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ die Rede. Bei 1. wird dann plötzlich nach $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ gefragt. 2. kann nicht sein, wenn 1. gilt. Deine Ideen sind nicht nützlich.
25.04.2015, 18:18	fragesteller123	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte U nicht gleich R3 sein können, wenn man für U1 und U2 richtige werte mit Variablen bekommt?
25.04.2015, 18:29	peterzwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
So, habe mich mal registriert. Sorry, das ist natürlich Quatsch. Ich meinte die Schnittmenge nicht die Vereinigungsmenge.
25.04.2015, 18:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt beliebig viele Untervektorräume $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U=U_1+U_2=\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , deren Durchschnitt von $\begin{eqnarray} \{0\} \end{eqnarray}$ verschieden ist. Es gibt auch beliebig viele Untervektorräume $\begin{eqnarray} U_1,U_2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} U=U_1+U_2\ne\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Deshalb macht diese Aufgabe keinen Sinn. $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ können nicht linear unabhängig sein, denn jeder Untervektorraum enthält den Nullvektor, und für den gilt 10=0 . $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray*}$ ist ein Untervektorraum, also nicht linear unabhängig also keine Basis. Deshalb macht Deine Idee zu 1. keinen Sinn.
25.04.2015, 21:47	peterzwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde ich denn im Allgemeinen zeigen, dass zwei Vektorräume gleich sind?
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26.04.2015, 10:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Im allgemeinen sind zwei Vektorräume $\begin{eqnarray} (V,+,\cdot,K) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (W,+,\cdot,K) \end{eqnarray}$ mit den gleichen Operationen über dem gleichen Körper gleich, wenn die Mengen $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W \end{eqnarray}$ gleich sind. Im besonderen spielt die Dimension der Vektorräume eine große Rolle. Das gilt auch für Dein Beispiel von Untervektorräumen und deren Summe. $\begin{eqnarray} U=U_1+U_2 \end{eqnarray}$ ist je nach Dimension der 4 Untervektorräume $\begin{eqnarray} U_1,U_2,U_1+U_2,U_1\cap U_2 \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ oder ungleich $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Darüber hast Du aber in Deiner Aufgabe nichts gesagt.
26.04.2015, 17:01	peterzwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir an, es sei: $\begin{eqnarray} <br /> U_1=\begin{pmatrix}<br /> a\\ <br /> 2a\\<br /> a\\<br /> \end{pmatrix},U_2=\begin{pmatrix}<br /> b+c\\ <br /> b-c\\<br /> 3b-c\\<br /> \end{pmatrix}~mit~a,b,c\in \mathbb{R}<br /> \end{eqnarray}$ Dann ist: $\begin{eqnarray} <br /> dim _{\mathbb{R}}(U_1)=1<br /> dim _{\mathbb{R}}(U_2)=2<br /> dim_{\mathbb{R}}(U_1+U_2)=3<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim_{\mathbb{R}}(U_1 \cap U_2)=0 \end{eqnarray}$ , weil sie nur den Nullvektor gemeinsam haben wegen der Eindeutigkeit der Darstellung. Wikipedia sagt: "To show that two finite-dimensional vector spaces are equal, one often uses the following criterion: if V is a finite-dimensional vector space and W is a linear subspace of V with dim(W) = dim(V), then W = V." Wie kann ich jetzt nach deinen Angaben anhand der Dimensionen sagen, dass U1+U2=R3 gilt ? Und würde es laut Wikipedia reichen, wenn ich anhand der Unterraumaxiome zeige, dass U=U1+U2 ein Unterraum von R3 ist und dann über den Rang der Matrixdarstellung zeige, dass die Dimensionen von R3 und U gleich sind?
26.04.2015, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Üblicherweise stellt man in diesem Beispiel die Untervektorräume etwas anders dar, so dass die jeweilige Basis und Dimension dieser Räume deutlich wird. Es ist $\begin{eqnarray} U_1=\{a\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\|a\in \mathbb R\},U_2=\{b\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}+c\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\|b,c\in \mathbb R\} \end{eqnarray}$ . Alles was Du über diese Untervektorräume und insbesondere über ihre Dimensionen gesagt hast ist richtig. $\begin{eqnarray} U_1,U_2,U_1+U_2 \end{eqnarray}$ sind Untervektorräume von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , weil sie so konstruiert sind, da gibt es nichts mehr zu beweisen. $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ ist eine Gerade, $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ ist eine Ebene. Die Gerade $\begin{eqnarray} U_1 \end{eqnarray}$ liegt nicht in der Ebene $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ sondern schneidet $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ im Nullpunkt. $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ hat dieselbe Dimension 3 wie der Vektorraum $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} U_1+U_2=\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Als Basis des Raums $\begin{eqnarray} U_1+U_2 \end{eqnarray}$ kann man $\begin{eqnarray} \{\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix}\} \end{eqnarray}$ nehmen oder irgend 3 andere linear unabhängige Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ .
26.04.2015, 18:39	peterzwegat	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut danke

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