Additionsverfahren mit 4 Gleichungen

25.04.2015, 21:16

Frozen1986

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Additionsverfahren mit 4 Gleichungen

Hallo

brauche Hilfe zum Additionsverfahren mit 4 Gleichungen
gegeben sind die 4 Punkte:

A (-2/1), B(0/3), C(2/1), D(3/4)

die Formel für die allgemeine Gleichung ist:

$\begin{eqnarray*} y=a\cdot x^3+b\cdot x^2+c \cdot x+d \end{eqnarray*}$

Die Aufstellung der Gleichungen:
$\begin{eqnarray*} A: \quad a \cdot (-2)^3+b \cdot (-2)^2+c \cdot (-2)+d=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B: \quad a \cdot (0)^3+b \cdot (0)^2+c \cdot 0+d=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C: \quad a \cdot (2)^3+b \cdot (2)^2+c \cdot 2+d=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D: \quad a \cdot (3)^3+b \cdot (3)^2+c \cdot 3+d=4 \end{eqnarray*}$

Ich würde es noch vereinfachen um eine besseren Überblich zu haben das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c +d=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B: \quad a +b +c +d=-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c +d=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c +d=4 \end{eqnarray*}$

nun möchte ich wissen ob die Aufstellung so korrekt ist

25.04.2015, 21:23

Mathema

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RE: Additionsverfahren mit 4 Gleichungen

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B: \quad a \cdot (0)^3+b \cdot (0)^2+c \cdot 0+d=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B: \quad a +b +c +d=-3 \end{eqnarray*}$

Darüber solltest du noch mal nachdenken.

Wink

Wink

25.04.2015, 21:31

Frozen1986

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hmm also wenn man etwas mit null multipliziert ist es gleich null in dem fall wo du mich drauf hinweist denk ich müsste es

$\begin{eqnarray*} B: \quad 0=-3 \end{eqnarray*}$

ist das so korrekt?

25.04.2015, 21:33

Mathema

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Das sieht schon besser aus, ist aber falsch, sofern dein Punkt B die Koordinaten (0|3) hat. Oder fehlt dir hier wieder ein Minuszeichen? Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2015, 21:39

Frozen1986

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oh man die minus zeichen, wieder in der angabe vergessen:

korrekte angabe
A (-2/1), B(0/-3), C(2/1), D(3/4)

lieg ich nun richtig mit Gleichung B?

25.04.2015, 21:43

Mathema

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Dann stimmt es natürlich.

Aber achte doch bitte in Zukunft genau auf deine Angaben und kontrolliere noch einmal bevor du postest. Es ist ärgerlich wenn hier Hilfe geleistet wird und sich dann herausstellt, dass die Aufgabe verkehrt war.

edit: Ich sehe gerade, bei Gleichung A schreibst du bei deiner ersten Gleichung "=1" und dann später "=4". Das solltest du auch noch verbessern.

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25.04.2015, 21:48

Frozen1986

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ich werde besser drauf achten Augenzwinkern

Augenzwinkern

ein frage zum fortfahren kann ich B vom Additionsverfahren nun auscheiden und mich mit
A,C,D vergnügen?

25.04.2015, 21:49

Mathema

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Ja - du solltest aber noch mein edit beachten.

25.04.2015, 21:59

Frozen1986

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nochmal die Korrekte Aufstellung:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c +d=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B: \quad 0=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c +d=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c +d=4 \end{eqnarray*}$

ich werd es dann mal weiter probieren

25.04.2015, 22:00

Mathema

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Halt:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B: \quad 0=-3 \end{eqnarray*}$

Da habe ich nur auf die rechte Seite geguckt und was übersehen:

Dein d multiplizierst du ja nicht mit 0. Deine Gleichung lautet also:

$\begin{eqnarray*} B: \quad d=-3 \end{eqnarray*}$

25.04.2015, 22:30

Frozen1986

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hmm ich dacht mir schon das der Wert -3 zu keiner Variable gehört!
Danke das du mir das noch gesagt hast den das vereinfacht es noch etwas Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2015, 22:35

Mathema

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Zitat:

hmm ich dacht mir schon das der Wert -3 zu keiner Variable gehört!

Das verstehe ich nicht, -3 ist doch nun gerade der Wert deiner Variable d. Diesen setzt nun in deine restlichen drei Gleichungen ein. Du erhältst also 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c =4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c =4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c =7 \end{eqnarray*}$

26.04.2015, 00:12

Frozen1986

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hier nochmal die gleichungen im überblich be C war ein fehler da 3^3 12a ergibt

du nimmst allso d raus aus den Gleichungen und addierst bei der summe 3?

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c +d=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B: \quad d=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 12a +4b +2c +d=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c +d=4 \end{eqnarray*}$

26.04.2015, 10:21

Mathema

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Zitat:

hier nochmal die gleichungen im überblich be C war ein fehler da 3^3 12a ergibt

Nein - zunächst einmal ist $\begin{eqnarray*} 3^3=27 \end{eqnarray*}$ , wie du bei Gleichung D richtig gerechnet hast und außerdem rechnen wir bei Gleichung C $\begin{eqnarray*} 2^3=8 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

du nimmst allso d raus aus den Gleichungen und addierst bei der summe 3?

Ich ersetze d durch unseren gefundenen Wert. Anschließend addiere ich dann 3 auf jeder Seite der Gleichung. Eingesetzt sehen die Gleichung erstmal so aus:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c-3 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c-3 =1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c-3 =4 \end{eqnarray*}$

Sorry nochmal für gestern, da habe ich wohl zu schnell gelesen und deine 0 für dein d gehalten. Aber das hat sich ja dann noch geklärt (danke auch noch mal an IfindU!).

26.04.2015, 11:09

Frozen1986

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Hallo Mathema

vielen danke für deine Großartige Korrektur und Hilfe ich mathematisiere wohl schon zuviel h am tag für meine bevorstehende Klausur das es mich Durcheinder wirft smile

smile

Ich habe das ganze mal in die Zahlen-Matrix des Taschenrechners gegeben das sieht so aus

$\begin{eqnarray*} \begin{matrix}<br /> -8 & 4 & -2 & 1 & 1\\<br /> 0 & 0 & 0 & 1 & -3\\<br /> 8 & 4 & 2 & 1 & 1 \\<br /> 27 & 9 & 3 & 1 & 4\\<br /> \end{matrix} \end{eqnarray*}$

als Ergebnis erhält man:

$\begin{eqnarray*} a= -0,133^\bullet \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b= 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c= 0,533^\bullet \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d= -3 \end{eqnarray*}$

Somit stimmt die Lösung, ich werde das ganze nun nochmal schriftlich durchrechnen und dann posten. Bin am Überlegen da es mit Latex sehr viel Schreibarbeit ist meine Notizen einzuscannen und hochzuladen.

Eine Frage noch laut meiner Lernvorlage werden die Lösungen
$\begin{eqnarray*} a = -\frac{2} {15} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = \frac{8} {15} \end{eqnarray*}$
als Bruch dargestellt, es müsste eine Funktion auf dem Taschenrechner (TI-84 Plus) ich denke mit Solve geben um die dezimal in Bruch umzurechnen ist da was bekannt?

26.04.2015, 11:21

Mathema

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Diesen TR kenne ich leider nicht. Ich arbeite schon immer mit Casio, da könnte ich dir weiterhelfen. Ansonsten mal in deine Anleitung gucken oder Herrn google fragen.

Deine Ergebnisse stimmen, wie auch dieses Bild zeigt:

edit: Wenn du möchtest, dass ich mir deine Rechnung noch ansehe, mach ich das natürlich gerne. Da reicht auch ein Scan. Wenn du auf die richtigen Ergebnisse kommst und dir deiner Notation sicher bist, dann musst auch nicht unbedingt hier noch die Rechnung aufschreiben.

Viel Glück schon mal für deine Klausur!

26.04.2015, 12:03

Frozen1986

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Ich habe etwas Schwierigkeiten den Rechenschritt zu finden um a und c zu ermitteln
Bekannte Angabe:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c -3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B: \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\ d=-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c -3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9b +3c -3=4 \end{eqnarray*}$

Eliminierungs verfahren nach Gau´sche
wenn man A und C Addiert

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4b -2c -3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C: \quad 8a +4b +2c -3=1 \end{eqnarray*}$

erhält man

$\begin{eqnarray*} E: \quad 8b -6=2 \end{eqnarray*}$

umformen

$\begin{eqnarray*} \quad 8b -6=2\quad/+6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad 8b=8\quad/:8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad b=1\quad \end{eqnarray*}$

nun kennen wir b=1 und d=-3
aber ich kann nicht den nächsten Rechenschritt erkennen um a und c zu ermitteln vll. einen tipp?

26.04.2015, 12:09

Mathema

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Du könntest dir z.B. die Gleichungen A und D mal hernehmen und einsetzen, was du kennst:

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4 -2c -3=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9 +3c -3=4 \end{eqnarray*}$

Also (Zahlen nach rechts):

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a -2c =0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +3c =-2 \end{eqnarray*}$

Jetzt wieder Additionsverfahren (z.B. A mit 3 und D mit 2 multiplizieren).

26.04.2015, 13:51

Frozen1986

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Ich habe nun wie du empfohlen hast A und D Multipliziert sowie anschließend die beiden resultate Addiert

$\begin{eqnarray*} A: \quad -8a +4\cdot1 -2c -3=1\quad/\cdot3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D: \quad 27a +9\cdot1 +3c -3=4\quad/\cdot2 \end{eqnarray*}$

somit wird der Wert von c gleichgesetzt

$\begin{eqnarray*} A: \quad -24a +12 -6c -9=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} D: \quad 54a +18 +6c -6=8 \end{eqnarray*}$

Die Addition von A und D ergibt

$\begin{eqnarray*} \quad 30a +30\quad\quad \quad -15=11 \end{eqnarray*}$

Umformen:

$\begin{eqnarray*} \quad 30a +30\quad\quad -15=11\quad/(-30+15) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad 30a =11-30+15 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad 30a =-4\quad/:2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad 15a =-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = -\frac{2} {15} \end{eqnarray*}$

nun nur noch einsetzen in eine beliebige Gleichung der 3 bekannten:

$\begin{eqnarray*} a = -\frac{2} {15} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b= 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d= -3 \end{eqnarray*}$

Entscheidung für Gleichung A
$\begin{eqnarray*} A: \quad -8\cdot(-\frac{2} {15}) +4\cdot1 -2c -3=1\quad/+2c\quad/-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad -8\cdot(-\frac{2} {15}) +4\cdot1 -3-1=2c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 1,06666...=2c \quad/:2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,5333^\bullet=c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c=\frac{8} {15} \end{eqnarray*}$

Danke für deine Hilfe beim Lösen, ein Frage noch zu Brüchen ist die Darstellung so
$\begin{eqnarray*} a = \frac{-2} {15} \end{eqnarray*}$
auch richtig?

26.04.2015, 13:54

Mathema

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Ja.

Gern geschehen!

Schönen Sonntag Dir.

Wink

Wink

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