Eine Basis eines Annullatorraumes bestimmen

25.04.2015, 21:28	Lee44	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Basis eines Annullatorraumes bestimmen Im Vektorraum R^{5x1} seien die Vektoren $\begin{eqnarray} a= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} , b= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix} , c= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gegeben. Bestimme eine Basis des Annullatorraumes von $\begin{eqnarray} <br /> a) U_1=[{a,b}]<br /> b) U_2=[{c}]<br /> c) U_3=U_1 \cap U_2<br /> d) U_4=U_1+U_2<br /> <br /> \end{eqnarray}$ Mein Problem ist, dass ich nicht ganz verstehe, wie man überhaupt Basen von Annullatorräumen bestimmt. Ich habe a) versucht: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 2 & -2 \end{pmatrix} ^T \|-> \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 3 \end{pmatrix} ^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & -3 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Basis: {-x_2+x_3, -x_1-3x_2+x_4, x_1+3x_2+x_5} \end{eqnarray}$ Mache ich es richtig?
25.04.2015, 21:57	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der Annullatorraum ist die Menge aller Linearformen des Dualraumes V* , die einen beliebigen Vektor v aus V auf 0 abbilden. Zu Aufgabenteil a) hast du bereits die Transponierte zur Matrix M = (a,b) aufgestellt, das "T" an deinen Matrizen ist damit überflüssig. Der Annullator ist in diesem Fall also der Kern deines Dualraumes, hier ausgedrückt durch den Zeilenraum der transponierten Matrix von M . Nun musst du, wenn ich mich nicht irre, die allgemeine Lösung des linearen homogenen Gleichungssystems $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 & -3 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ermitteln. Durch Parametrisieren einiger Variablen solltest du die Basis schnell ermitteln können! Viele Grüße Widderchen
25.04.2015, 22:06	Lee44	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Also einfach ausmultiplizieren? Dann komme ich zu $\begin{eqnarray} x_1-x_4+x_5=0<br /> <br /> x_2-x_3-3x_4+3x_5=0<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$
25.04.2015, 22:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, du hast nun das zu lösende Gleichungssystem vorliegen. Dieses Gleichungssystem muss aber noch gelöst werden. Du musst die Variablen $\begin{eqnarray} x_i \,\,\, i = 1,...,5 \end{eqnarray}$ noch bestimmen. Dazu können einige Variablen parametrisiert werden, da offenbar mehr Variablen als Gleichungen vorhanden sind. Viele Grüße Widderchen

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