Verschiebung,Streckung

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25.04.2015, 21:51	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Verschiebung,Streckung Hallo! Ich sitze an folgender Aufgabe und weiß nicht recht weiter. Untersuchen und begründen Sie, ob der Graph des kubischen Polynoms P(x)=x³-x durch Streckungen und Verschiebungen längs der Koordinatenachsen aus dem Graphen von Q(x)=x³ erzeugt werden kann. Tjoa, meiner Intuition nach funktioniert das nicht, aber das ist leider nicht sehr gut begründet und mathematisch unpräzise Hat da jemand eine Idee oder einen Ansatz den ich weiterverfolgen könnte? Bis dahin
25.04.2015, 21:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Verschiebung,Streckung Man kann alle Funktionen, die sich aus Q erzeugen lassen mit Variablen charakterisieren und explizit hinschreiben. Wenn man das hat, führt ein Koeffizientenvergleich zum Ziel - sei es, dass keine Lösung existiert oder eben eine "verschobene Streckung".
25.04.2015, 22:06	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir Leid, dass verstehe ich leider nicht ganz. Wie sieht denn so ein Koeffizientenvergleich aus?
25.04.2015, 22:14	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome sind gleich, wenn die Koeffizienten vor den "Monomonen" $\begin{eqnarray} x^k \end{eqnarray}$ gleich sind. Erst einmal solltest du aber sagen wie die Verschiebungen und Streckungen von Q aussehen. Damit meine ich, dass reine Verschiebungen in Richtung der x-Achse aussehen wie $\begin{eqnarray} Q_a(x) = (x - a)^3 \end{eqnarray}$ für irgendwelche a. Nun kann man sagen wie es aussieht wenn man es in y-Richtung bewegt und wenn man es noch Strecken darf. Es sind 3 Operationen, d.h. am Ende solltest du 3 Variablen haben.
25.04.2015, 22:21	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann versuche ich es mal. Meintest du das hier? Vertike Verschiebung um d: f(x)+d Streckung in y-Richtung um Faktor s: sf(x) Wenn ich mir dass so angucke, kann P mit Hilfe dieser Operationen nicht erreicht werden. Du sagtest etwas von 3 Operationen. Welche ist denn die dritte? Die Spiegelung entlang der y-Achse?
25.04.2015, 22:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die 3. habe ich schon aufgeführt: Verschiebung in Richtung der x-Achse. Und sehr schön. Nun wie sieht dann Q aus, wenn es in Richtung der x-Achse verschoben werden darf, in Richtung der y-Achse und auch noch skaliert wird?
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25.04.2015, 22:50	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage habe ich da noch: wieso gucken wir uns dabei die x-Achse an? Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass es sich nur um die y-Achse dreht?! Q(x) für Verschiebung an der x-Achse um a Q(x+a)=(x+a)³ Q(x) für Verschiebung an der y-Achse um d Q(x)+d =x³+d Q(x) für Streckung in y-Richtung um s sQ(x)= s*(x³)
25.04.2015, 23:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir wollten aber eine Funktion haben, die alle Änderungen gleichzeitig enthält. D.h. x^3 um a in der x-Achse, um d in der y-Achse verschoben und noch um s gestreckt. Und ich habe "Verschiebungen längs der Koordinatenachsen" so verstanden, dass man die x-Achse mitbetrachten muss, schließlich ist es eine der beiden Koordinatenachsen. (Insbesondere ist Koordinatenachsen Plural, d.h. es sollte wenigstens 2 geben) Edit: Vlt als Tipp: Um das zu bewerkstelligen reicht es die Funktion erst einmal zu strecken, die gestreckte Funktion dann in der y-Achse zu verschieben, und dann die gestreckte, in der y-Achse verschoben Funktion auch noch, wenn mein Verständnis davon richtig ist, in x-Richtung zu verschieben.
25.04.2015, 23:18	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann betrachten wir auch die x-Achse. Soll ich die Zahlen für a,d und s willkürlich wählen???? Wenn wir Q(x) um den Faktor 7 strecken haben wir: 7Q(x)=7x³ nun verschieben wir das ganze in y-Richtung um 5 : Q(x)+5=7x³+5 zuletzt noch in x-Richtung verschieben um 2: Q(x+2)= 7(x+2)³+5 Ist das soweit richtig, oder bin ich gerade absolut auf dem Holzweg?!
25.04.2015, 23:33	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Form stimmt, aber belassen wir es bei $\begin{eqnarray} R(x) = s(x+a)^3 + d \end{eqnarray}$ . Es ist nicht ganz offensichtlich, aber alle Möglichkeiten Q zu strecken und zu verschieben lassen sich so darstellen. Die Frage ist nun: Gibt es a, d und s s.d. $\begin{eqnarray} R(x) = P(x) = x^3 - x \end{eqnarray}$ ist. Hier ist es wichtig Variablen zu lassen und nicht Zahlen einzusetzen. Mit Zahlen hättest du gefragt: Wenn ich Q um den Faktor 7 strecke, um 5 nach oben verschiebe und und 2 nach links, ergibt es dann P? Die Antwort wäre nein gewesen, was dir nicht viel bringt -- es hätte andere Verschiebungen geben können, s.d. es passt. Jetzt haben wir die allgemeine Form R gefunden. Wenn du es sorgfältig ausmultiplizierst, kannst du es sehr gut mit P vergleichen. Was ich nämlich mit Koeffizientenvergleich meinte: Gibt es zwei Polynome S und T, mit $\begin{eqnarray} S(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} T(x) = ex^3 + fx^2 + gx + h \end{eqnarray}$ , dann sind sie gleich genau dann wenn alle Koeffizienten gleich sind, d.h. $\begin{eqnarray} a = e; \; b = f; \; c = g; \; d = h \end{eqnarray}$ . Das kannst du mit P und R dann machen und siehst wie du a,d und s zu wählen hast, damit R wirklich P ist. Wenn es das Trio nicht gibt, so hast du gezeigt, dass deine Intuition richtig war, und man Q nicht "modifizieren" kann, s.d. P rauskommt. Ich hoffe du bist damit erst einmal versorgt, weil ich wohl für heute Feierabend mache
25.04.2015, 23:55	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, nun habe ich es verstanden. Man braucht das doch gar nicht ausmultiplizieren um zu sehen, dass die Koeffizienten unterschiedlich sind,oder? Q(x)=s(x-a)³+d = s(a³+3a²x+3ax²+x³)+d=sa³+3a²xs+3asx²+sx³+d P(x)=x³-x Man sieht hier doch lediglich, dass der erste und der letzte Koeffizient gleich sind und meine Intuition richtig war, oder?
26.04.2015, 09:11	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls $\begin{eqnarray} sa^3 + d = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3a^2s = -1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3as = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} s = 1 \end{eqnarray}$ , dann sind die Polynome aber gleich. Warum kann das nicht sein? Edit 2: Alternative Beweisidee: P ist nicht monoton, jede Streckung und Verschiebung von Q ist es jedoch.
26.04.2015, 09:54	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ui, dann fangen wir am frühen Morgen direkt mal mit Mathe an Warum das nicht sein kann? Müssten a und d nicht dann auch 0 sein?
26.04.2015, 10:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das wirst du präzisieren müssen. Warum müssten sie das?
26.04.2015, 10:14	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil sonst sa³=0 und 3as=0 nicht aufgehen würden!? Aber das 3a²s=-1 irritiert mich . Das würde ja nicht aufgehen.
26.04.2015, 10:16	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und damit hast du gezeigt, dass P keine solche Modifikation von Q ist. Die Gleichungen widersprechen sich nämlich.
26.04.2015, 10:22	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah,super! Vielen Dank für deine Hilfe! ABer wieso hast du ausgerechnet diese 3 Gleichungen genommen, das ist mir noch nicht klar?!
26.04.2015, 10:26	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sind genau die Gleichung die man aus den Koeffizientenvergleich bekommt. Schreib dir das ausmultiplizierte am besten geordnet in den Exponenten der x auf, dann solltest dus sehen.
26.04.2015, 10:38	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, das verstehe ich nicht Was soll ich geordnet aufschreiben?
26.04.2015, 10:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben $\begin{eqnarray} Q(x) &=& (d + sa³)+(3a²s)x+(3as)x²+sx³\\ P(x) &=& 0 + (-1)\cdot x + 0\cdot x^2 +1 \cdot x^3 \end{eqnarray}$ . Wenn man dann mein zitiertes Resultat benutzt, sieht man dann die 4 Gleichugen.
26.04.2015, 10:58	JPS	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, das habe ich nun verstanden. Aber woher kamen noch gleich die-1, 0 und die 1?
26.04.2015, 11:00	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die in meinem jetzigen P waren immer da. Und wenn ich mich nicht verschrieben habe, sollte die Vorfaktoren alle x vergleichen zu den 4 Gleichungen führen.

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