Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte

26.04.2015, 12:14

dutiwrik

Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte

Hallo Community,

ich habe folgendes in einem Paper gefunden:

[attach]37841[/attach]

Es werden zwei Punkte vi und vj einer Triangulierung genutzt, um den Krümmungskreis zu bestimmen. Von diesem Krümmungskreis wird dann die Krümmung Kn bestimmt. Kann mir jemand erklären, wie ich mit vi, vj, N und T auf den Radius des Krümmungskreises komme?

Gruß

Edit Guppi12: Externes Bild direkt aufs Board hochgeladen. Danke für den Hinweis, RavenOnJ

Edit 2: Da jetzt durch etwas ungünstiges Timing gleich 2 Folgebeiträge dazu erschienen sind, werde ich diese hier einfügen, damit der Antwortenzähler wieder auf 0 steht.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Original von RavenOnJ
Vielleicht solltest du das Bild mal am matheboard hochladen.

------------------------------------------------------------------------------------------------------

Zitat:

Original von dutiwrik
Diese Option hatte ich völlig übersehen Gott

26.04.2015, 16:13

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte
Ich nehme an, N soll der Normaleneinheitsvektor an dem Kreis sein und <.,.> das Skalarprodukt der Vektoren. Seien nun beispielsweise $\begin{align*} \nu_i,\nu_j \end{align*}$ Ortsvektoren auf zwei benachbarten Ecken eines regelmäßigen, dem Kreis eingeschriebenen 6-Ecks, dann ist $\begin{align*} \langle N,\nu_i-\nu_j\rangle=\frac{r_n(\nu_i)}2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert^2= r_n(\nu_i)^2 \end{align*}$ mit dem Krümmungsradius $\begin{align*} r_n(\nu_i) \end{align*}$ . Es ergibt sich also

$\begin{align*} \frac{2\langle N,\nu_i-\nu_j\rangle}{\left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert^2}=\frac{r_n(\nu_i)}{r_n(\nu_i)^2}= r_n(\nu_i)^{-1} = k_n(\nu_i) \end{align*}$

was der Kehrwert des Krümmungsradius ist. Auf alle Fälle falsch sind die Indizes an den Ortsvektoren der Punkte. Man muss sie vertauschen.

Edit 2:
Liegt $\begin{align*} \nu_j \end{align*}$ irgendwo auf dem Kreis, dann gilt wegen Ähnlichkeit der Dreiecke $\begin{align*} \triangle \nu_i\nu_j M \end{align*}$ und $\begin{align*} \triangle \nu_i L\nu_j \end{align*}$ , wobei der Punkt M der Punkt auf dem Kreis gegenüber von $\begin{align*} \nu_i \end{align*}$ und L der Fußpunkt des Lotes auf $\begin{align*} \overline{\nu_i M} \end{align*}$ durch $\begin{align*} \nu_j \end{align*}$ ist:

$\begin{align*} \frac{\langle N,\nu_i-\nu_j\rangle}{\left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert}=\frac{\left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert}{2r_n(\nu_i)} \Rightarrow \frac{2\langle N,\nu_i-\nu_j\rangle}{\left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert^2} =\frac 1 {r_n(\nu_i)} = k_n(\nu_i) \end{align*}$

Edit: Hatte zuerst Krümmung und Krümmungsradius verwechselt.

26.04.2015, 16:58

dutiwrik

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte

Zitat:

Original von RavenOnJ
$\begin{align*} \langle N,\nu_i-\nu_j\rangle=\frac{r_n(\nu_i)}2 \end{align*}$ und $\begin{align*} \left\vert \nu_i-\nu_j\right\vert^2= r_n(\nu_i)^2 \end{align*}$

Danke schon einmal. Woher weißt du, dass die zitierten Zusammenhänge gelten?

26.04.2015, 17:05

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte
Das erste, was ich geschrieben hatte, ist ja nur ein Spezialfall des unter Edit 2 geschriebenen.

Zu Edit 2: Einfache geometrische Überlegungen. Rechtwinklige Dreiecke, mit Gleichheit eines der spitzen Innenwinkel. Daraus folgt die Ähnlichkeit der Dreiecke und die genannten Verhältnisse.

Edit:
Die von dir zitierte Formel liegt darin begründet, dass bei einem regelmäßigen 6-Eck die Länge der Seiten gleich dem Abstand der Ecken zum Mittelpunkt ist. Das Skalarprodukt ist die Projektion von $\begin{align*} \nu_i-\nu_j \end{align*}$ auf die Strecke von $\begin{align*} \nu_i \end{align*}$ zum Mittelpunkt. Die Innenwinkel in $\begin{align*} \triangle \nu_i\nu_jM' \end{align*}$ (mit M' dem Mittelpunkt des Kreises) sind alle 60°, der Cosinus also 1/2.

26.04.2015, 17:20

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte
Wenn übrigens nur die Punkte $\begin{align*} \nu_i,\nu_j \end{align*}$ und der Normalenvektor gegeben sind, nicht eine Kurve durch die Punkte, die durch den Kreis lokal approximiert werden soll, dann ist die Formel nicht nur approximativ sondern exakt.

Edit: Ich nahm die ganze Zeit an, dass wir uns durchweg in einer Ebene befinden, dass also alle Punkte und Figuren in der Ebene liegen. Falls es sich um die Triangulierung einer gekrümmten Fläche im 3-dimensionalen handelt, dann gilt die Formel natürlich nur annähernd.

26.04.2015, 17:29

dutiwrik

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das macht für mich Sinn. Vielen Dank für deine Hilfe!

26.04.2015, 17:31

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe, du hast das Edit meines letzten Posts noch mitbekommen.

Neue Frage »

Antworten »

Krümmungskreis gegeben durch zwei Punkte

Verwandte Themen