Jordan-Normalform und Minimalpolynom

26.04.2015, 16:20	zunder	Auf diesen Beitrag antworten »
Jordan-Normalform und Minimalpolynom Meine Frage: Hallo, ich wollte mal fragen, ob meine Lösung für die Aufgabe richtig ist. Gegeben sei die Matrix $\begin{eqnarray} A(p)=\begin{pmatrix}0 & 1 & p \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ Berechnen Sie das char. Polynom, die Jordan-Normalform und das Minimalpolynom. Meine Ideen: Das char. Polynom ist $\begin{eqnarray} \chi_{A}(\lambda)=-\lambda^3+p=(\sqrt[3]{p}-\lambda)(\frac{-\sqrt[3]{p}+\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda)(\frac{-\sqrt[3]{p}-\sqrt{-3p^{2/3}}}{2}-\lambda) \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} p\neq0 \end{eqnarray}$ sind alle Eigenwerte paarweise verschieden und die Matrix ist diagonalisierbar, also ist die Jordan-Normalform eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten auf der Diagonale. Für $\begin{eqnarray} p=0 \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \chi_{A}(\lambda)=-\lambda^3 \end{eqnarray}$ mit dem Eigenwert 0. Es gibt nur ein 3x3-Jordan-Kästchen. Die Anzahl der Jordan-Blöcke mit Länge 1 ist 0, deshalb ist die Jordan-Normalform von A: $\begin{eqnarray} J_A=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das Minimalpolynom entspricht $\begin{eqnarray} \forall p\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ dem charakteristischen Polynom. Danke.

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