Lagrange-Multiplikatoren |
| 26.04.2015, 20:50 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lagrange-Multiplikatoren M={(x,y)eR: x^2+3y^2=4} f(x,y)= 6y-2x eM fx(x,y): 0=-2+2Lx fy(x,y): 0=6+6Ly fL(x,y): 0=x^2+3y^2-4 Meine Ideen: Man soll die globalen Extrema und alle Stellen aus M bestimmen an denen glob.Max/Min angenommen werden. Habe die Ableitungen bestimmt, aber ich weiß nicht wie ich die umstellen soll um auf etwas vernünftiges zu kommen. Ich habe x= 1/L bzw. y=-1/L Soll ich diese Werte jetzt in fL(x,y) einsetzen? |
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| 27.04.2015, 01:17 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das sollst du! Somit bekommst du L und danach x und y. Alternativ kannst du L auch elininieren Lx = 1 Ly = -1 | Div. --------- x/y = -1 --> x = - y --> y² + 3y² = 4 --> y --> x mY+ |
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| 27.04.2015, 19:40 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dann habe ich jetzt für x=-sqrt2 y=+sqrt2 Dann gebe ich das in f(x,y)=6y-2x ein und erhalte 8*sqrt2 !? |
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| 27.04.2015, 19:54 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder besser gesagt f(-sqrt2; +sqrt2)=8*sqrt2 (als z-Wert)?Richtig soweit? Ist das häufig so, dass man nur einen Punkt findet, es könnten doch auch mehrere sein, oder? |
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| 27.04.2015, 22:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es sind auch mehrere, denn deine Rechnung stimmt nicht! Ich habe dir doch ohnehin schon die halbe Rechnung gegeben:
So, und nun rechne mittels der Gleichung oben die zugehörigen x-Werte aus. Die zugehörigen z-Werte sind +8 bzw. -8 mY+ |
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| 27.04.2015, 23:16 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich setze y=1 ein: 0= x^2 +3*1-4 1=x^2 x= 1; x=-1 Ich setze y=-1 ein 0=x^2+3*(-1)-4 7=x^2 x= ; Wurzel aus -7 ist nicht definert. -> Muss ich jetzt 6 Punkte berechnen x1,y1 x1,y2 x2,y1 x2,y2 x3,y1 x3,y2? Also hätte ich 6 globale extrema!? |
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| 27.04.2015, 23:28 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ergebnisse wären dann: 4 -8 8 -4 6-2* -6-2* globales Min (aus M) f(; -1)=-6-2* globales Max f(-1;1)=8 |
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| 27.04.2015, 23:48 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay ich sehe gerade x3 = ist quatsch Also ist glob Min bei f(1;-1)=-8 |
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| 28.04.2015, 00:47 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es sind (nur) zwei Wertepaare, (1; -1) und (-1; 1). Was ist mit f(1; -1)? mY+ |
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| 28.04.2015, 11:49 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe das nicht, warum es nur 2 Wertepaare geben soll. Ich habe doch 2 y-Werte und wenn ich die in 0= x^2 +3*y^2-4 einsetze, dann bekomme ich doch jeweils x^2=1 x= -1; x=1 Also insgesamt 4 Wertepaare!? Was ist mit f(1; -1)? Da das Ergebnis das niedrigste ist, gehe ich davon aus, dass das globale Minimum ist. |
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| 29.04.2015, 13:16 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beim Rückeinsetzen in die quadratische Gleichung bekommst du naturgemäß 2 falsche Lösungen "gratis mitgeliefert". Du darfst daher immer nur in jene Gleichung rückeinsetzen, aus der die Substitution stammt, hier also in Und im Aufgabentext steht, es sind die globalen Extrema zu suchen, nicht nur das Minimum. mY+ |
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| 29.04.2015, 23:25 | moupep | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, vielen vielen Dank nochmal. Ich hatte das heute auch noch mit jemanden besprochen, und dann ging mir auch ein Licht auf, das x=-y bzw. y=-x und deswegen nach dem finden von y=-1 gleichzeitig x=1 sein muss und umgedreht. Ich hatte große Probleme das y in fL(x,y) richtig einzusetzen und danach das Ergebnis richtig zu schließen, aber jetzt habe ich es so ziemlich begriffen. Glob Max: f(-1,1)=8 Glob Min: f(1,-1)=-8 |
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