Wahrscheinlichkeitsraum Beweis

27.04.2015, 18:28

Zitronenkuchen

Wahrscheinlichkeitsraum Beweis

Es seien $\begin{eqnarray*} (\Omega, A ,P) \end{eqnarray*}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\begin{eqnarray*} A,B,C \subset \Omega \end{eqnarray*}$ Ereignisse.
Beweisen oder widerlegen Sie:

(b) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\geq 1-(P(\overline{A} - P(\overline{B})) \end{eqnarray*}$

Mir ist klar, dass die Aussage richtig ist nur kriege ich es nicht ganz gebacken dies auch zu zzeigen. Also:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)= P(\Omega\setminus \overline{A\cup B}) = P(\Omega) - P(\overline{A\cup B}) = 1-P(\overline{A}\cap \overline{B}) \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich das irgendwie noch geeignet abschätzen. Dies gelingt mir jedoch nicht. Kann mir jemand einen Tipp geben?? verwirrt

Ich verzweifel daran grade etwas.

Mfg. Zitronenkuchen

27.04.2015, 20:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zitronenkuchen
(b) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\geq 1-(P(\overline{A} - P(\overline{B})) \end{eqnarray*}$

Irgendwie fehlt hier eine Klammer - meinst du vielleicht $\begin{align*} P(A\cup B)\geq 1-(P(\overline{A}) - P(\overline{B})) \end{align*}$ ? verwirrt

Falls ja: Diese Ungleichung gilt mitnichten - es lassen sich leicht Ereignisse $\begin{align*} A,B \end{align*}$ angeben, so dass rechts ein Wert größer als 1 steht, womit die Ungleichung absurd wird.

27.04.2015, 21:40

Zitronenkuchen

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Zitat:

Falls ja: Diese Ungleichung gilt mitnichten - es lassen sich leicht Ereignisse angeben, so dass rechts ein Wert größer als 1 steht, womit die Ungleichung absurd wird.

Stimmt ich habe ein falsches Rechenzeichen gesetzt. Korrekt lautet die Ungleichung:

(b) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\geq 1-(P(\overline{A}) + P(\overline{B})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)= P(\Omega\setminus \overline{A\cup B}) = P(\Omega) - P(\overline{A\cup B}) = 1-P(\overline{A}\cap \overline{B}) \end{eqnarray*}$

28.04.2015, 09:44

HAL 9000

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In dem Fall ist es natürlich kein Problem. Wegen $\begin{align*} \overline{A}\cap \overline{B}\subseteq \overline{A} \end{align*}$ gilt

$\begin{align*} P(\overline{A}\cap \overline{B}) \leq P(\overline{A}) \leq P(\overline{A}) + P(\overline{B}) \end{align*}$ ,

woraus mit deiner letzten Zeile die Behauptung folgt.

P.S.: Man könnte man sogar das deutlich stärkere $\begin{align*} P(A\cup B) \geq 1- \min\left\{ P(\overline{A}),P(\overline{B})\right\} \end{align*}$ nachweisen.

28.04.2015, 14:17

Zitronenkuchen

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Hey vielen dank HAL 9000 für deine Hilfe Mit Zunge

Das ich auf die Ungleichung so nicht gekommen bin Hammer

Letzteres werde ich mir auch mal angucken smile

mfg. Zitronenkuchen

28.04.2015, 16:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Zitronenkuchen
Letzteres werde ich mir auch mal angucken

Formt man die rechte Seite um

$\begin{align*} 1- \min\left\{ P(\overline{A}),P(\overline{B})\right\} = 1 + \max\left\{ -P(\overline{A}),-P(\overline{B})\right\} = \max\left\{ 1-P(\overline{A}),1-P(\overline{B})\right\} = \max\left\{ P(A),P(B)\right\} \end{align*}$

ist es ganz einfach zu sehen. Augenzwinkern

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