Zahlentheorie

27.04.2015, 21:23

HIMYM

Zahlentheorie

Meine Frage:
Hallo zusammen. smile

Ich habe hier eine Aufgabe bei der ich leider nicht weiter komme:
Für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bezeichne $\begin{eqnarray*} \sigma(n) \end{eqnarray*}$ die Summe aller Teiler von n. Zeigen Sie,dass für gerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} \sigma(\sigma(n))=2*n \equiv(gdw) n=2^q , 2^{q+1} \in \mathbb P \end{eqnarray*}$
Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar.

Meine Ideen:
DIe Rückrichtung. Sein $\begin{eqnarray*} n=2^q , 2^{q+1} \in \mathbb P \end{eqnarray*}$
Dann gilt $\begin{eqnarray*} \sigma(n)=\sigma(2^q)=2^{q+1}-1 \end{eqnarray*}$ nach Vl.
$\begin{eqnarray*} \sigma(2^{q+1}-1)=2 \end{eqnarray*}$ da nach Voraussetzung primzahl.
Aber es sollte ja $\begin{eqnarray*} 2^{q+1} \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} 2*n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n=2^q \end{eqnarray*}$ rauskommen. Aber leider sehe ich gerade meinen Fehler nicht und für die Hinrichtung fehlt mir die Idee.

27.04.2015, 21:32

Captain Kirk

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Hallo,

leider verstehe ich deine Angabe nicht. Was soll

Zitat:

$\begin{eqnarray*} n=2^q , 2^{q+1} \in \mathbb P \end{eqnarray*}$

bedeuten?
$\begin{eqnarray*} \mathbb P \end{eqnarray*}$ bezeichnet normalerweise die Primzahlen, aber 2-er Potenzen sind keine Primzahlen. Und was ist q?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sigma(2^{q+1}-1)=2 \end{eqnarray*}$ da nach Voraussetzung primzahl.

Für Primzahlen p gilt: $\begin{eqnarray*} \sigma(p) =p+1 \end{eqnarray*}$ , ansonsten gilt $\begin{eqnarray*} \sigma (n) > n \end{eqnarray*}$ .
Irgendwas passt hier also nicht.

27.04.2015, 22:26

HIMYM

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Sry da steht 2^(q+1)-1 aus P ,womit die primzahlen gemeint sind. Leider steht nichts zu q, dass habe ich mich naemlich auch schon gefragt. Die Rueckrichtung idt jetzt klar, ich habe meinen Denkfehler gefunden. Aber mit der hinrichtung tu ich mich noch schwer.kannst du mir einen tipp geben?

27.04.2015, 23:40

Captain Kirk

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Du brauchst eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \sigma (n) \geq n+1 \end{eqnarray*}$ und dass die Teilerfunktion (zahlentheoretisch) multiplikativ ist.

28.04.2015, 00:22

Captain Kirk

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Okay, man braucht doch ein bisschen mehr, insbesondere:
$\begin{eqnarray*} \sigma (ml) \geq m \sigma (l) \end{eqnarray*}$ mit Gleichheit nur falls m=1.
Es ist $\begin{eqnarray*} n=2^k\cdot r \end{eqnarray*}$ , k>0, r ungerade;
$\begin{eqnarray*} \sigma ( \sigma( n)) = \sigma ( \sigma (r) (2^{k+1}-1) )\geq \sigma (r )\cdot \sigma (2^{k+1}-1) \geq r \cdot 2^{k+1} =2n \end{eqnarray*}$
und man geht jetzt durch wann die Ungleichungen Gleichungen sind.

Entgegen meiner vorigen Behauptung gilt auch $\begin{eqnarray*} \sigma (n) > n \end{eqnarray*}$ nicht immer.

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