Isomorphismus Zweielementiger Ringe

Neue Frage »

jyusan Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus Zweielementiger Ringe
Meine Frage:
Hi, ich soll zeigen dass es zwischen zwei Ringen mit je zwei Elementen genau einen Isomorphismus gibt.

Meine Ideen:
Also erstmal ein Isomorphismus ist ein umkehrbarer Homomorphismus, richtig?

ein Homomorphismus ist (bei uns) so definiert.

Seien S und R Ringe und h eine Abbidlung R auf S
gilt h(0)=0 h(1)=1

und h(a+b)=h(a)+h(b) weiterhin h(ab)= h(a) * h(b)

Leider habe ich jetzt nicht ganz verstanden wie ich das genau anwenden soll um etwas zu zeigen. Wenn ihr noch weitere Quellen hättet, wo Ringe etc mehr anschaulich beschrieben werden wäre ich auch ertsmal dankbar.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein Ring ist ein Objekt in dem man addieren, subtahieren und multiplizieren kann.
Als solches ist ein Ring ein ziemlich abstraktes Objekt.
In Algebra-Lehrbüchern oder deinem Skript finden sich Beispiele für Ringe.

Zitat:
Also erstmal ein Isomorphismus ist ein umkehrbarer Homomorphismus, richtig?
Ja, alternativ ein bijektiver Ringhomorphismus.

Hier gibt es zwei Ringe R,S. Da jeder Ring ein Nullelement enthalten muss sind die Elemente von R: 0 und r und von S: 0 und s.
Die Auswahl an Abbildungen zwischen R und S ist ziemlich begrenzt, ein Isomorphismus lässt sich sogar im Zweifelsfall durch ausprobieren finden.
jyusan Auf diesen Beitrag antworten »

Also meine jetzige Lösung

Sei
und f: R -> S

da in beiden jeweils ein Null und ein 1 Element besteht gilt,

und
und da ist die Eigenschaft also gegeben.




Und da ich bei zwei zwie Elementigen Ringen als Defintionsmenge und Wertebereich bei f habe muss die Abbildung ja auch bijektiv sein oder? Dann wäre das ganze ja auch umgekehrt möglich und somit auch ein Isomoprhismus?

Muss das jetzt für alle möglichen Kombinationen machen?

also f(0r+0r) und f(1r+0r) etc pp.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
da in beiden jeweils ein Null und ein 1 Element besteht gilt,
Hast du bereits bewiesen, dass Null- und Einselement verschieden sind?

Zitat:
Und da ich bei zwei zwie Elementigen Ringen als Defintionsmenge und Wertebereich bei f habe muss die Abbildung ja auch bijektiv sein oder?

Das würde mir als begründung nicht ausreichen. Mit der Begründung wäre auch bijektiv.

Zitat:
Dann wäre das ganze ja auch umgekehrt möglich und somit auch ein Isomoprhismus?
Bijektivität bedeutet nur die Existenz einer Umkehrfunktion. A priori ist nicht klar ob diese Umkehrfunktion wieder ein Homomorphismus ist.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »