Nullstellen berechnen

28.04.2015, 20:33

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Nullstellen berechnen

Guten Abend!

Ich habe die ehrenvolle Aufgabe erhalten Nullstellen von 4 Funktionen zu bestimmen. Leider bin ich in Mathe nicht sonderlich gut und daher könnte ich den einen oder anderen Rat gebrauchen.

a) f(x)= x^4-2x²-63

meine Idee: ich würde x^4 durch z² substituieren!?

b) f(x)= e^2x-(1+e)*e^x+e

meine Idee: ich habe noch keinen blassen Schimmer. traurig

traurig

c) f(x)= x³+18x²-115x

meine Idee: x ausklammern!?

d) f(x)= x²*e^x²+2x*e^x²-143e^x²

meine Idee: e^x² ausklammern!?

28.04.2015, 20:37

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind doch gute Ideen.

Bei b solltest du auch substituieren: $\begin{eqnarray*} z=e^x \end{eqnarray*}$ .

Wink

Wink

29.04.2015, 10:08

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

So, ich habe erstmal a) und c) gerechnet

a) $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{4}- 2x^{2}-63 \end{eqnarray*}$

Substitution: x²=z

$\begin{eqnarray*} 0 = z^{2}-2z-63 \end{eqnarray*}$

Anwendung der pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} x 1/2 = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x 1/2 =1\pm \sqrt{1+63} \end{eqnarray*}$

x1 = 9 x2=-7

c) $\begin{eqnarray*} f(x)= x^{3}+ 18x^{2}-115x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0= x^{3}+ 18x^{2}-115x \end{eqnarray*}$

x wird ausgeklammert

$\begin{eqnarray*} 0= x(x^{2}+18x-115) \end{eqnarray*}$

Da ein Produkt nur Null werden kann, wenn einer der Faktoren Null ist, muss x=0 die erste Nullstelle sein

x1=0

Anwendung der pq-Formel

$\begin{eqnarray*} x 1/2 = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2/3 = - 9\pm \sqrt{81+115} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x2/3 = - 9\pm 14 \end{eqnarray*}$

x2= 5 x3=-23

Stimmt das bisher so?

29.04.2015, 17:15

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

c) sieht gut aus. Freude

Freude

a) stimmt leider so nicht.

Zitat:

Substitution: x²=z

$\begin{eqnarray*} 0 = z^{2}-2z-63 \end{eqnarray*}$

Anwendung der pq-Formel:

$\begin{eqnarray*} x 1/2 = -\frac{p}{2}\pm \sqrt{\left(\frac{p}{2} \right)^2 - q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x 1/2 =1\pm \sqrt{1+63} \end{eqnarray*}$

x1 = 9 x2=-7

Wo kommt auf einmal das x in deiner pq-Formel her? Du berechnest hier die Lösungen für z. Also:

$\begin{eqnarray*} z_{1,2} =1\pm \sqrt{1+63} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1 = 9 \wedge z_2=-7 \end{eqnarray*}$

Nun musst du noch resubstituieren, also folgende Gleichungen betrachten:

$\begin{eqnarray*} x^2=9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2=-7 \end{eqnarray*}$

29.04.2015, 18:40

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte eher gedacht, dass ich 9 und -7 quadrieren muss um die Substitution quasi rückgängig zu machen. verwirrt

verwirrt

verwirrt

verwirrt

Aber gut: dann ziehe ich eben die Wurzel aus 9 und erhalte 3 und -3 als Nullstellen. -7 fällt weg ,da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann.

29.04.2015, 18:44

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das war doch deine Substitution:

Zitat:

Substitution: x²=z

Du hast nun Lösungen für z gefunden. Diese setzen wir nun in deine Gleichung auch für z ein.

Das ist richtig.

Anzeige

29.04.2015, 19:11

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich es verstanden, danke dir. smile

smile

nun probiere ich mal die anderen Aufgaben.

d)

$\begin{eqnarray*} f(x)= x^{2}\cdot e^{x^2}+2x\cdot e^{x^2}-143e^{x^2} \end{eqnarray*}$

nun klammer ich das e^x² aus und erhalte:

$\begin{eqnarray*} 0= e^{x^2}\cdot\left(x^{2}+2x-143 \right) \end{eqnarray*}$

Da ein Produkt nur Null werden kann, wenn einer der Faktoren Null ist, muss die Klammer Null sein, da e hoch irgendwas niemals Null werden kann.

Daher kann ich nun einfach die pq-Formel auf die Klammer anwenden.

$\begin{eqnarray*} x 1/2 = -\frac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{2}{2}^2 \right)+143 } \end{eqnarray*}$

so erhalte ich die Nustellen x1= 11 und x2= -13

29.04.2015, 19:12

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Freude

29.04.2015, 19:19

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, es fluppt ja Big Laugh

Big Laugh

Da bin ich noch etwa verwirrt. Du sagtest, ich solle dort z=e^x substituieren. Irgendwie kriege ich das nicht ganz hin. Kannst du mir da noch etwas unter die Arme greifen?

letzte Aufgabe:

b) $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{2x}- \left(1+e\right)e^{x} +e \end{eqnarray*}$

29.04.2015, 19:21

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist:

$\begin{eqnarray*} (a^m)^n=a^{m \cdot n} \end{eqnarray*}$

Und somit:

$\begin{eqnarray*} e^{2x}= (e^x)^2 \end{eqnarray*}$

Nun?

29.04.2015, 19:29

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

0=(e^x)²-e^x(1+e)+e

Ich sehe gerade nicht wie mich das weiterbringt verwirrt

verwirrt

traurig

29.04.2015, 19:38

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Du wolltest doch substituieren?! verwirrt

verwirrt

Also:

$\begin{eqnarray*} z^2- \left(1+e\right)z +e=0 \end{eqnarray*}$

Und das du die pq-Formel kannst, hast du ja hier schon bewiesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.04.2015, 19:49

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr.

dann sieht die pq-Formel so aus:

$\begin{eqnarray*} z 1/2= \frac{\left(1+e\right)\cdot z }{2}\pm \sqrt{\left(\left(\frac{1+e}{2} \right)\cdot z \right)^2 }- e \end{eqnarray*}$

irgendwie stört das z dort?!

29.04.2015, 19:52

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das gehört da ja auch nicht hin. z ist deine Lösungsvariable. Du setzt doch auch kein x, wenn x deine Lösungsvariable ist!

29.04.2015, 20:07

CM1871

Auf diesen Beitrag antworten »

Soooooooooo, ich bekomme 2 Nullstellen heraus.

z1= 1 und z2= e

nun muss noch resubstituiert werden:

e^x=1 und e^x=e

ich würde logarithmieren und erhalte dann als finales Ergebnis:

x1=0 und x2=1

Richtig?

29.04.2015, 20:16

Mathema

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kann ich bestätigen. Freude

Freude

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »