Reihenkonvergenz für komplexe Reihen

29.04.2015, 10:19

Sandrine1234

Reihenkonvergenz für komplexe Reihen

Meine Frage:
Hey ich verstehe einfach nicht, wie ich die Konvergenz von Reihen mit komplexen Zahlen nachweisen kann.
Ich habe hier mal Zwei Beispiele:

Meine Ideen:
Erste Reihe ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty} i^{k} \end{eqnarray*}$

Rein vom Gefühl her würde ich tippen, dass die Reihe divergiert.

Und zwar gegen die Zahl 1.
Danach kommen ja nur noch $\begin{eqnarray*} \sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} -\sqrt{-1} \end{eqnarray*}$ , 1, -1, i, -i abwechselnd, was sich aufhebt.
Aber wie zeige ich das?

Die zweite Reihe ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac{i^{k} }{k!} \end{eqnarray*}$

Hier würde ich das Quotientenkriteritum anwenden. Es handelt sich hierbei ja um die komplexe Exponentialfunktion, welche konviergieren sollte.
Ist das Quotientenkriteritum eine geeigene Wahl?

Korrektur aus zweitem Beitrag übernommen und diesen entfernt, damit Antwortenzähler auf 0 steht (Guppi12)

29.04.2015, 10:40

Guppi12

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Hallo,

Zitat:

Rein vom Gefühl her würde ich tippen, dass die Reihe divergiert. Und zwar gegen die Zahl 1.

Eine Reihe kann nicht gegen eine Zahl divergieren. Sie kann divergieren oder eben gegen eine Zahl konvergieren. Beachte hier das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz. Ist es erfüllt?

Zur 2: es ist ja nicht ganz die komplexe Exponentialfunktion. Aber wenn du bereits weißt, dass diese Reihe konvergiert, weil das bei der Definition der komplexen Exponentialfunktion gezeigt wurde, solltest du das verwenden können. Falls du es nicht verwenden willst, ist das Quotientenkriterium eine gute Wahl. Majorantenkriterium tuts hier aber z.B. auch.

29.04.2015, 10:58

sandrine12345

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Oh vertan.. meinte, dass die erste Reihe konvergiert. Ist das denn korrekt? Und gegen welchen Wert konvergiert die Reihe?

Ist die Ausführung denn korrekt, dass sich die genannten Glieder aufheben?

29.04.2015, 11:03

Guppi12

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Hast du meinen Beitrag wirklich sorgfältig gelesen? Es scheint mir, dass du hinter

Zitat:

Eine Reihe kann nicht gegen eine Zahl divergieren. Sie kann divergieren oder eben gegen eine Zahl konvergieren.

nicht weitergelesen hast.

Ein Beispiel: Ist $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \end{eqnarray*}$ konvergent? Hier heben sich die Glieder ja auch gegenseitig weg Augenzwinkern

Falls du das mit JA beantwortest, frage dich, wie ist denn nochmal Reihenkonvergenz überhaupt definiert?

29.04.2015, 11:29

sandrine123456

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hm.. naja ich denke mal du willst darauf hinaus, dass schon die Folge $\begin{eqnarray*} i^{k} \end{eqnarray*}$ nicht konvergiert (Die springt ja zwischen verschiedenen Werten "hin" und "her" oder?).

Daher können wir direkt folgern, dass auch die Reihe nicht konvergiert?

29.04.2015, 11:33

Guppi12

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Damit die Reihe überhaupt die Chance hat, zu konvergieren, muss die summierte Folge eine Nullfolge sein. Das nennt man auch das notwendige Kriterium.

Du kannst auch sofort sehen, dass die Reihe nicht konvergiert, wenn du dir wie gesagt nochmal anschaust, was die Definition von Konvergenz von Reihen ist. Diese ist nämlich über die Konvergenz einer bestimmten Folge definiert. Du würdest direkt sehen, dass diese Folge nicht konvergent ist.

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