Greensche Formel

29.04.2015, 22:15	Gast 33	Auf diesen Beitrag antworten »
Greensche Formel Meine Frage: Hallo, ich hätte eine Frage zur Greenschen Formel. Warum gilt das? $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ offene Menge im $\begin{eqnarray} \mathbb R^{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_{i} \end{eqnarray}$ i-te Komponente der der äußeren Normale und $\begin{eqnarray} v = 0 \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \partial \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\Omega} \! v\partial_{i}w \, dx = - \int_{\Omega} \! \partial_{i}v\cdot w \, dx + \int_{\partial \Omega} \! vwv_{i} \, ds \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich komm einfach nicht drauf. Erstens: Woher kommt des Minus vor dem ersten Integral? Von der partiellen Integration? Warum fehlt dann der vordere Teil der partiellen Integration? Zweitens: Warum hab ich ein Randintegral hinten rauß? Steckt da die Gaußsche Integralformel dahinter? Ich hab schon einiges versucht. Mit Kombination von partieller Integration und den Satz von Green oder die partiellen Ableitungen umschreiben aber alles erfolglos.
30.04.2015, 12:34	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Greensche Formel Du willst folgende Formel beweisen, die ich mal in 3-dimensionaler Gestalt aufschreibe (hier speziell für die Ableitung nach der 1.Koordinate $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} \underbrace{\int v\tfrac{\partial w}{\partial x_1}\,\,dV}_{\text{Volumenintegral}}=-\underbrace{\int w\tfrac{\partial v}{\partial x_1}\,\,dV}_{\text{Volumenintegral}}+\underbrace{\oint vw\cdot n_1\,\,dA}_{\text{Oberflächenintegral}} \end{eqnarray}$ Dabei bezeichnet $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ die 1.Komponente des Oberflächen-Normalenvektors $\begin{eqnarray} \vec n=(n_1\|n_2\|n_3) \end{eqnarray}$ ---------------------- Beweis: Im Integranden auf der linken Seite führen wir formal den Vektor $\begin{eqnarray} \vec w=\begin{pmatrix} w \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ein, dessen 1.Komponente gerade die skalare Funktion w ist und dessen andere Komponenten verschwinden. Damit kann man unter Benutzung der allgemeinen Formel $\begin{eqnarray} div(\alpha\cdot \vec a)=\nabla \alpha\cdot \vec a+\alpha\cdot div(\vec a) \end{eqnarray}$ den Integranden auf der linken Seite wie folgt umformen $\begin{eqnarray} v\tfrac{\partial w}{\partial x_1}=v\cdot div(\vec w)=div(v\cdot \vec w)-\nabla v\cdot \vec w=div(v\cdot \vec w)-\tfrac{\partial v}{\partial x_1} w \end{eqnarray}$ Damit können wir das Integral auf der linken Seite wie folgt umformen $\begin{eqnarray} \int v\tfrac{\partial w}{\partial x_1}\,\,dV=\int div(v\cdot \vec w)-\tfrac{\partial v}{\partial x_1}\cdot w\,\,dV \end{eqnarray}$ Darin wandeln wir das Integral über div(...) mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächenintegral um. $\begin{eqnarray} \int v\tfrac{\partial w}{\partial x_1}\,\,dV=\oint v\cdot \vec w\,\,d\vec A-\int \tfrac{\partial v}{\partial x_1}\cdot w\,\,dV \end{eqnarray}$ Wegen $\begin{eqnarray} \vec w=\begin{pmatrix} w \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} v\cdot \vec w=v\cdot \begin{pmatrix} w \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} vw \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Also spielt im Oberflächenintegral nur die 1.Komponente des vektoriellen Flächenelementes eine Rolle, also $\begin{eqnarray} d\vec A=n_1\,dA \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n_1 \end{eqnarray}$ die 1.Komponente des Oberflächen-Normalenvektors ist. Einsetzen liefert $\begin{eqnarray} \int v\tfrac{\partial w}{\partial x_1}\,\,dV=\oint vw\cdot n_1\,\,dA-\int \tfrac{\partial v}{\partial x_1}\cdot w\,\,dV \end{eqnarray}$ Das ist die obige Formel, die zu beweisen war.
30.04.2015, 16:14	Gast 33	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, vielen Dank für deine Antwort. Jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag. Ich bin nicht draufgekommen das i festzuhalten, denn in meiner eigentlichen Aufgabenstellung läuft das i noch von 1,...,n als Summe vor dem Integral. Aber das ist ja kein Problem ich wende dann quasi die obige Integralgleichung einfach n-mal an für jedes neue i das ich festhalte. :-)
29.11.2023, 20:33	Gast45	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie würde man fortfahren, wenn man aus der obigen Formel die Gültigkeit der Green'schen Formel (beispielsweise für Funktionen mit nur zwei Variablen) beweisen möchte? Oder folgt das direkt? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und verstehe nicht ganz den Zusammenhang...

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