Greensche Formel

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Gast 33 Auf diesen Beitrag antworten »
Greensche Formel
Meine Frage:
Hallo,

ich hätte eine Frage zur Greenschen Formel. Warum gilt das?
offene Menge im und i-te Komponente der der äußeren Normale und auf





Meine Ideen:
Ich komm einfach nicht drauf.
Erstens: Woher kommt des Minus vor dem ersten Integral? Von der partiellen Integration? Warum fehlt dann der vordere Teil der partiellen Integration?
Zweitens: Warum hab ich ein Randintegral hinten rauß? Steckt da die Gaußsche Integralformel dahinter?

Ich hab schon einiges versucht. Mit Kombination von partieller Integration und den Satz von Green oder die partiellen Ableitungen umschreiben aber alles erfolglos.
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Greensche Formel
Du willst folgende Formel beweisen, die ich mal in 3-dimensionaler Gestalt aufschreibe (hier speziell für die Ableitung nach der 1.Koordinate ):



Dabei bezeichnet die 1.Komponente des Oberflächen-Normalenvektors
----------------------
Beweis:
Im Integranden auf der linken Seite führen wir formal den Vektor ein, dessen 1.Komponente gerade die skalare Funktion w ist und dessen andere Komponenten verschwinden. Damit kann man unter Benutzung der allgemeinen Formel den Integranden auf der linken Seite wie folgt umformen





Damit können wir das Integral auf der linken Seite wie folgt umformen



Darin wandeln wir das Integral über div(...) mit dem Gaußschen Satz in ein Oberflächenintegral um.



Wegen gilt . Also spielt im Oberflächenintegral nur die 1.Komponente des vektoriellen Flächenelementes eine Rolle, also , wobei die 1.Komponente des Oberflächen-Normalenvektors ist. Einsetzen liefert



Das ist die obige Formel, die zu beweisen war.
Gast 33 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Ehos,

vielen Dank für deine Antwort. Jetzt weiß ich auch wo mein Fehler lag.
Ich bin nicht draufgekommen das i festzuhalten, denn in meiner eigentlichen
Aufgabenstellung läuft das i noch von 1,...,n als Summe vor dem Integral. Aber
das ist ja kein Problem ich wende dann quasi die obige Integralgleichung einfach
n-mal an für jedes neue i das ich festhalte. :-)
Gast45 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würde man fortfahren, wenn man aus der obigen Formel die Gültigkeit der Green'schen Formel (beispielsweise für Funktionen mit nur zwei Variablen) beweisen möchte? Oder folgt das direkt? Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch und verstehe nicht ganz den Zusammenhang...
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