Integrationsgrenzen bestimmen für Gaußschen Integralsatz

01.05.2015, 12:17	grübler15	Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen bestimmen für Gaußschen Integralsatz Meine Frage: Hallo! Gegeben ist ein Körper (siehe Skizze) sowie ein Vektorfeld $\begin{eqnarray} \vec{F}=\begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ -y \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es soll der Fluß durch die Oberfläche des Körpers mittels des Gaußschen Integralsatzes bestimmt werden. An sich ist die Geschichte recht einfach. Es gilt: $\begin{eqnarray} \int_{}\int_{} \! \vec{F}\cdot \vec{N} \, dA =\int_{} \int_{} \int_{} \! div\vec{F} \, dV \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich: $\begin{eqnarray} div\vec{F}=\begin{pmatrix} \frac{d}{dx} \\ \frac{d}{dy} \\ \frac{d}{dz} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ -y \end{pmatrix}=4 \end{eqnarray}$ Es ergibt sich also folgendes Volumenintegral: $\begin{eqnarray} \int_{} \int_{} \int_{} \! 4 \, dV \end{eqnarray}$ Das dV in kartesischen Koordinaten lautet: $\begin{eqnarray} dV=dx\cdot dy\cdot dz \end{eqnarray}$ Nun bereitet mir aber die Bestimmung der Integrationsgrenzen Probleme. In der Musterlösung wird zunächst die Ebenengleichung $\begin{eqnarray} 2x+2y+z=2 \end{eqnarray}$ bestimmt. Wie kommt diese Gleichung zustande? Dann werden die Integrastionsgrenzen bestimmt: $\begin{eqnarray} x_{u}=0; x_{o}=1-\frac{1}{2}z; y_{u}=0; y_{o}=1-x-\frac{1}{2}z; z_{u}=0; z_{o}=2 \end{eqnarray}$ Ich vermute, dass diese sich aus der Ebenengleichung ergeben. Aber wenn man diese z.B. nach x auflöst, muss bei $\begin{eqnarray} x_{o} \end{eqnarray}$ doch noch ein -y enthalten sein, oder? Und warum ist das $\begin{eqnarray} z_{o} \end{eqnarray}$ von x und y abhängig, das $\begin{eqnarray} y_{o} \end{eqnarray}$ hingegen von x und z abhängig? Rein logisch gesehen ist die z-Koordinate von x und y abhängig und x sowie y stellen unabhängige Variablen dar. Meine Ideen: siehe oben. Wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!

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