Abbildung von R nach R²

01.05.2015, 17:34

Jefferson1992

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Abbildung von R nach R²

Hallo Leute,

mir ist das ja echt peinlich, weil es wahrscheinlich eine ziemlich triviale Frage ist, aber ich komme einfach nicht weiter
Folgendes Problem:

Ich habe ein paar Funktionen und soll sagen, ob die injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ist ja erstmal nicht schwer.

Dann hatte ich zuerst die Funktion:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x-3 \end{eqnarray*}$

Die ist ja logischerweise bijektiv, da jeder y-Wert genau ein X Wert hat und es eine Gerade ist, die in ganz R definiert ist.

Aber bei der Zweiten Funktion verstehe ich schon den Sachzusammenhang nicht.

$\begin{eqnarray*} g: \mathbb R -> \mathbb R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=(1,2x-3) \end{eqnarray*}$

Erst war ich ganz verwirrt, weil ich dachte es heißt 1,2x-3.
Aber wie ich mir denken kann, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2x-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemeint, oder?

So das heißt mein Definitionsbereich ist ganz R und am Ende rauskommen soll R², also ein Vektor.

Das einzige was ich sagen kann, ist das R² mächtiger ist als R und es deshalb schonmal nicht surjektiv sein kann, da surjektiv ja bedeutet, dass jeder y-Wert mndestens einmal getroffen wird, es muss also für jedes Bild ein Urbild da sein, und das wird nicht der Fall sein.
Nur wie zeige ich jetzt, dass die Fuktion injektiv, nicht injektiv ist?

Ich stehe einfach total auf dem Schlauch..

01.05.2015, 17:41

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Aber wie ich mir denken kann, ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2x-3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ gemeint, oder?

Jein.in der Aufgabe steht ein Zeilenvektor, das wäre ein Spaltenvektor. Im Kontext der Aufgabe ist das aber wurscht.

Zitat:

ist das R² mächtiger ist als R

Nein, das ist falsch.

Zitat:

Nur wie zeige ich jetzt, dass die Fuktion injektiv

Was ist denn die Definition von injektiv?

01.05.2015, 17:56

Jefferson1992

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RE: Abbildung von R nach R²
Ja also Injktiv heißt ja, dass ich zum Beispiel 2 Werte aus dem Definitionsbereich nehme, a und b, die nicht gleich sind und die in die Funktion einsetze und wenn a nicht b, dann muss auch f(a) ungeich f(b) sein.

Anschaulich hieße das ja, dass es für jedes Urbild genau ein Bild gibt.

01.05.2015, 18:07

Captain Kirk

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So und jetzt ist die Frage:
Ist die Abbildung injektiv, so zeige, dass das gilt.
Ist die Abbildung nicht injektiv, so finde ein Gegenbeispiel.

01.05.2015, 18:15

Jefferson1992

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Das erste was ich nicht richtig verstehe ist, in dem Vektor ist ja die x1 Komponente immer 1. Das würde ja schon bedeuten, dass es nicht injektiv sein kann, da die 1 Komponennte immer gleich ist, egal was ich einsetze.

Wenn das unrelevant und totaler Schwachsinn ist, was ich hier von mir gebe, dann ist die Funktion Injektiv, da es für 2x-3 für jedes Urbild genau ein Bild gibt.

Jetzt zu der Frage mit R² ist mächtger als R. Das stimmt ja nicht, aber wie kann ich dann sagen, dass es nicht surjektiv ist? Ich meine, wenn R genauso mächtig ist wie R², dann gäbe es ja für jedes Bild ein Urbild und die Funktion wäre surjektiv.

01.05.2015, 18:24

Captain Kirk

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Die Verneinung von relevant ist irrelevant.

Zitat:

Ich meine, wenn R genauso mächtig ist wie R², dann gäbe es ja für jedes Bild ein Urbild und die Funktion wäre surjektiv.

Dass zwei Mengen gleichmächtig sind heißt, dass es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt.
Das heißt nicht, dass jede Abbildung bijektiv oder auch nur surjektiv wäre.

Die Definition von injektiv, formal ausgedrückt ist:
$\begin{eqnarray*} f(x)=f(y) \Rightarrow x=y \end{eqnarray*}$
Formuliere, was das hier konkret bedeutet, und versuche es dann zu beweisen.

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01.05.2015, 18:37

Jefferson1992

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hm. Das würde doch bedeuten, dass

$\begin{eqnarray*} f(1)=f(2x-3) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 1=2x-3 \end{eqnarray*}$

Und das wäre nur bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ der Fall.

Heißt das jetzt schon, dass die Funktion injektiv ist?

Zitat:

Die Verneinung von relevant ist irrelevant.

Ah Sorry. Irrelevant. Danke! Hammer

Hammer

Zitat:

Dass zwei Mengen gleichmächtig sind heißt, dass es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt. Das heißt nicht, dass jede Abbildung bijektiv oder auch nur surjektiv wäre.

Das heißt also, wenn ich mindestens eine Abbildung gibt von R nach R² die bijektiv ist, dann sagt man sind R und R² gleichmächtig, richtig?
Surjektiv wurde uns anschaulich so erklärt, dass es zu jedem Bild ein Urbild geben muss. Heißt wenn es von R auf R abgebildet wird, muss die Funktion auch "Unendlich" viele y-Werte haben sowohl für -x als auch für +x.
Ist das überhaupt richtig oder habe ich da etwas falsch verstanden?

01.05.2015, 18:41

Captain Kirk

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Zitat:

hm. Das würde doch bedeuten, dass

$\begin{eqnarray*} f(1)=f(2x-3) \end{eqnarray*}$ daraus folgt $\begin{eqnarray*} 1=2x-3 \end{eqnarray*}$

Und das wäre nur bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ der Fall.

Nein. Was tust du hier? Was für eine Aufgabe soll das sein? Wieso setzt du gearde diese Werte ein? Und wieso f?

Zitat:

Das heißt also, wenn ich mindestens eine Abbildung gibt von R nach R² die bijektiv ist, dann sagt man sind R und R² gleichmächtig, richtig?

Das ist die Definition des Begriffs "Gleichmächtig".

Bitte beschäftige dich erstmal mit dem einen Teil der Aufgabe, nicht mit beiden gleichzeitig.

01.05.2015, 18:50

Jefferson1992

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RE: Abbildung von R nach R²
okay. sorry.
war zu undurchdacht.

nochmal langsam. Schritt für Schritt..

Ich habe folgende Funktion:

$\begin{eqnarray*} g:\mathbb R ->\mathbb R² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=(1,2x-3) \end{eqnarray*}$

Zu Zeigen ist, ob diese Funktion Injektiv ist.

Injektiv heißt in meinem Fall:

$\begin{eqnarray*} g(x)=g(y)-> x=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , oder?

Ich stehe halt gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie ich da eine Darstellung kriege, die ungefähr so aus sieht $\begin{eqnarray*} g(x)=ax+by+c \end{eqnarray*}$

verwirrt

verwirrt

01.05.2015, 18:54

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} g(y) \end{eqnarray*}$ ist die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ , oder?

Nein.
g(x) ist g ausgewertet bei x, g(y) ist g ausgewertet bei y.

Zitat:

Ich stehe halt gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie ich da eine Darstellung kriege, die ungefähr so aus sieht $\begin{eqnarray*} g(x)=ax+by+c \end{eqnarray*}$

Gar nicht. Und wieso sollte man/du/wer-auch-immer das wollen?

01.05.2015, 18:58

Jefferson1992

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Okay.

Jetzt bin ich mir total unsicher, aber, falls ich das richtig verstande habe,

ist $\begin{eqnarray*} g(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(y)=2x-3 \end{eqnarray*}$ edit: da muss ich doch y für x einsetzen oder?..

ist das erstmal richtig?...

Zitat:

Gar nicht. Und wieso sollte man/du/wer-auch-immer das wollen?

Ich weiß auch nicht traurig

traurig

Habe gerade irgendwie überhaupt keine Ahnung, was ich tue..

Warum hänge ich eigentlich an genau dieser Aufgabe. Ale anderen habe ich schon gelöst und mit der Übungsgruppe besprochen, aber an genau dieser Aufgabe hängen wir momentan alle. So schwer kann die doch nicht sein..

01.05.2015, 19:05

Captain Kirk

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Zitat:

So schwer kann die doch nicht sein..

Die Aufgabe ist auch nicht schwer.
Aber du offenbarst massive Lücken in den elementaren Grundlagen. (das ist keine Übertreibung)

g(x) ist laut Aufgabenstellung definiert als g(x)=(1,2x-3)

Was ist dann g(1) ?

Zitat:

Ich weiß auch nicht traurig

Wieso schreibst du es dann? Raten hilft nicht.

01.05.2015, 19:09

Jefferson1992

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Ja, ich muss einiges nachholen, merke ich gerade.
Vielleicht sollte ich nicht Gerd Fischer - Lineare Algebra durcharbeiten, sondern erstmal etwas Grundlegendes´. Hast du da einen Tip?

Okay. Fangen wir bei 0 an.

$\begin{eqnarray*} g(x)=(1, 2x-3) \end{eqnarray*}$

Dann wäre $\begin{eqnarray*} g(1)=(1, -1) \end{eqnarray*}$

oder?...

01.05.2015, 19:11

Captain Kirk

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Zitat:

Dann wäre $\begin{eqnarray*} g(1)=(1, -1) \end{eqnarray*}$

Ja.
So was ist dann g(y) ?
Und was bedeutet dann hier konkret g(x)=g(y)

01.05.2015, 19:15

Jefferson1992

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Wenigstens etwas.

So g(y) würde dann bedeuten, dass ich für X, Y einsetze, dass heißt:

$\begin{eqnarray*} g(y)=(1 , 2y-3) \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} g(x)=g(y) \end{eqnarray*}$ würde dann bedeuten;

$\begin{eqnarray*} (1, 2x-3)=(1, 2y-3) \end{eqnarray*}$

Und die sind nur gleich, wenn $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Dann habe ich also $\begin{eqnarray*} g(x)=g(y) -> x=y \end{eqnarray*}$

Also Injektiv!

01.05.2015, 19:18

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1, 2x-3)=(1, 2y-3) \end{eqnarray*}$

Richtig.

Zitat:

Und die sind nur gleich, wenn $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

Das ist nur deine Behauptung/Wunschdenken. Du sollst es beweisen.

01.05.2015, 19:22

Jefferson1992

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Kann ich das so schreiben:

x1: $\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$
x2: $\begin{eqnarray*} 2x-3=2y-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

oder ist das Käse?

Weil normal macht man das ja mit einer Konstanten. Also r mal Vekotr 1 = Vektor 2. Muss ich das in dem Fall auch?

01.05.2015, 19:26

Captain Kirk

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Zitat:

Kann ich das so schreiben:

$\begin{eqnarray*} 1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x-3=2y-3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x=2y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$

oder ist das Käse?

Nein das ist richtig.

Zitat:

Weil normal macht man das ja mit einer Konstanten. Also r mal Vekotr 1 = Vektor 2.

Keine Ahnung was du meinst.

01.05.2015, 19:30

Jefferson1992

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Ich meine Lineare Abhängigkeit. Ist was anderes .

Okay.

ALso ist die Funktion injektiv.

Jetzt zu Surjektiv.

Surjektiv ist ja als

$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

definiert.

In meinem Fall wäre dann:

$\begin{eqnarray*} g(x)=y \end{eqnarray*}$

Und da muss ich immer nur die zweite Kompoente betrachten, also

$\begin{eqnarray*} 2x-3 \end{eqnarray*}$

Und diese Funktion ist auf jeden Fall surjektiv, also stimmt die Behauptung, dass

$\begin{eqnarray*} g(x)=y \end{eqnarray*}$

ist und somit ist die Funktion auch surjektiv, oder?

01.05.2015, 19:38

Captain Kirk

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Zitat:

Surjektiv ist ja als

$\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$

definiert.

Nein ist es nicht. Das wäre sogar eher eine Schreibweise für Funktionen. Bitte gewöhne dir zumindest halbwegs exakte mathematische Ausdrucksweise an. Dieser Thread ist ein "gutes" Beispiel dafür, was passiert wenn man nur halbgare und umschreibende Sprache verwendet. Mal ganz abgesehen davon, dass man das zu verstehende auch nur halbgar und umschreibend verstehen kann.

Alles was du danach schreibst ist kaum verständlich und definitiv falsch.
g ist nicht surjektiv.
z.B.

Zitat:

Und da muss ich immer nur die zweite Kompoente betrachten,

Wie kommst du darauf? Und es ist falsch.

01.05.2015, 19:49

Jefferson1992

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Aber genau das ist doch die Definition von Surjektiv.

Wenn es ein y aus der Werteenge gibt, also in meinem Fall aus $\begin{eqnarray*} R² \end{eqnarray*}$ , dann muss es mindestens ein x geben aus dem Definitionsbereich, also bei mir $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Warum ist das denn jetzt falsch?

Und wenn ich dann meine Funktion betrachte, dann habe ich $\begin{eqnarray*} g(x)=y \end{eqnarray*}$ als nötiges Kriterium für Surjektivität.

und $\begin{eqnarray*} g(x)=(1, 2x-3) \end{eqnarray*}$

Und die erste Kompoente kann ich meiner Meinung nach weglassen, weil die sich, egal was ich für x einsetze nicht ändert, die ist immer 1.

und bei $\begin{eqnarray*} 2x-3 \end{eqnarray*}$ kann ich alles aus R einsetzen und kriege immer mindestens einen y Wert raus.

Waru kann ich das so nicht machen und wie würde man es machen?

...

Danke!

01.05.2015, 19:55

Captain Kirk

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Zitat:

Aber genau das ist doch die Definition von Surjektiv.

Auf nein-doch-aww. habe ich keine sonderliche Lust.

Zitat:

Wenn es ein y aus der Werteenge gibt, also in meinem Fall aus $\begin{eqnarray*} R² \end{eqnarray*}$ , dann muss es mindestens ein x geben aus dem Definitionsbereich, also bei mir $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ ist.

Das trifft es schon eher. Dir ist hoffentlich klar, dass zwei Sätze was ganz was anderes sind als einfach ein Teil der zwei Sätze. (was y=f(x) wäre)
Formal ist die Definition von surjektiv: (darum drückst du dich hier schin die ganze Zeit)
Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f; A \to B \end{eqnarray*}$ heißt surjektiv, falls $\begin{eqnarray*} \forall y \in B \exists x \in A : f(x)=y \end{eqnarray*}$

Nenne mal irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

01.05.2015, 20:05

Jefferson1992

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Sorry. okay.
Ich lerne daraus, man drückt sich imer Mathematisch korrekt aus und nicht nur halb, da es dann auch etwas ganz anderes sein kann. Ich werde es mir zu Herzen nehmen.

Zurück zum Thema:

Ein Element aus R² wäre im Prinzip jeder Vektor mit (a,b).

Moment. Sehe ich das gerade richtig, dass laut Definition dann für alle Vektoren mit (a,b) es mindestens ein x geben muss, sodass g(x)=(a,b).

Und ein Vektor mit 2 Komponenten ist nur darstellbar, wenn x auch ein Vektor ist, da aber x Element von R und nicht von R² ist, ist das gar nicht möglich.

Ich versuche es mal mathematisch:

$\begin{eqnarray*} \forall y\in \mathbb R ²\exists x\in \mathbb R :g(x)=y \end{eqnarray*}$

01.05.2015, 20:08

Captain Kirk

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Zitat:

Nenne mal irgendein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

Heißt irgendein konkretes Element.

Zitat:

Und ein Vektor mit 2 Komponenten ist nur darstellbar, wenn x auch ein Vektor ist, da aber x Element von R und nicht von R² ist, ist das gar nicht möglich.

Auch hier kann ich wieder nur raten was du meinen könntest. Reelle Zahlen sind allerdings auch Vektoren.

01.05.2015, 20:10

Jefferson1992

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Aber ich kann doch kein zweizeiligen Vektor in R darstellen, nur im R² oder?

Konkretes Element: (1, 2)

01.05.2015, 20:13

Captain Kirk

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Zitat:

Aber ich kann doch kein zweizeiligen Vektor in R darstellen, nur im R² oder?

Ja, und was soll das wiedersprechen.

Zitat:

Konkretes Element: (1, 2)

Wunderbar. Und das Spiel spielen wir solang, bis wir ein Element finden das kein Urbild unter g hat.

01.05.2015, 20:16

Jefferson1992

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ja (2, 3) zum Beispiel, da die erste Kompoente immer 1 ist.

01.05.2015, 20:21

Captain Kirk

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So und damit wäre gezeigt, dass g nicht surjektiv ist.

01.05.2015, 20:22

Jefferson1992

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Zählt das denn als Beweis, wenn ich das mit einem Zahlenbeispiel mache?

Also ist g(x) injektiv und nicht surjektiv.

01.05.2015, 20:28

Captain Kirk

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Zitat:

Zählt das denn als Beweis, wenn ich das mit einem Zahlenbeispiel mache?

Du machst kein Beispiel, sondern ein Gegenbeispiel. Es wird hier nicht gezeigt sondern wiederlegt, und das geht mit einem Gegenbeispiel.

Zitat:

Also ist g(x) injektiv und nicht surjektiv.

Die Abbildung ist g, g(x) ist ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^2 \end{eqnarray*}$

01.05.2015, 20:33

Jefferson1992

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okay. Alles klar.

Also ist die Abbildung g, gegeben durch g: R -> R², g(x)=(1, 2x-3) injektiv.

Vielen Dank für die Mühe. Werde mich in Zukunft besser ausdrücken und mehr nachdenken.

Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend und bedanke mich recht herzlich für Ihre Hilfe!

02.05.2015, 12:15

Jefferson1992

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R² nach R²
Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage:

Habe jetzt die folgende Funktion:
$\begin{eqnarray*} h: R²->R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x_{1} ,x_{2} )=x_{2} ²,x_{1} ²) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich erstmal Injektivitt gezeigt durch:

1. Behauptung $\begin{eqnarray*} h(x)=h(y) -> x=y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(x_{1} ,x_{2})=(x_{2}²,x_{1} ²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h(y_{1} ,y_{2})=(y_{2}²,y_{1} ²) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{2}²=y_{2}² -> x_{2}=y_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}²=y_{1}² -> x_{1}=y_{1} \end{eqnarray*}$

Diese Funktion ist Injektiv.

2. Behauptung $\begin{eqnarray*} \forall (m,n)\in \mathbb R ²\exists (a,b)\in \mathbb R ²:f(a,b)=(m,n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x_{2}²,x_{1}²) \end{eqnarray*}$

Von da muss ich wieder auf $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ kommen. Heißt ich ziehe auf bedein Seiten die Wurzel und erhalte:

$\begin{eqnarray*} (x_{2},x_{1}) \end{eqnarray*}$

Das ist aber ungleich $\begin{eqnarray*} (x_{1},x_{2}) \end{eqnarray*}$

Also ist diese Funktion nicht surjektiv.

Ist das richtig?

Danke!

02.05.2015, 12:19

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: R² nach R²

Zitat:

Original von Jefferson1992
$\begin{eqnarray*} x_{2}²=y_{2}² -> x_{2}=y_{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}²=y_{1}² -> x_{1}=y_{1} \end{eqnarray*}$

Versuch diesen Schritt doch einmal sauber zu begründen. Und für die Surjektivität solltest du dir auch erst einmal ein "Bild" von der Funktion machen, wie sehen die Funktionswerte aus? Gibt es auf den ersten Blick Werte, die nicht getroffen werden können?

02.05.2015, 12:28

Jefferson1992

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Hallo,

Danke für die schnelle Antwort.

Was meinst du mit sauber begründen?

Zur Surjektivität.

Die Funktion dürfte eigentlich wie eine quadratische Funktion aussehen nur halt im R², das heißt es werden keine Minus Werte getroffen und somit ist sie schon nicht mehr surjektiv.

Jetzt weiß ich was du meinst.

Wenn ich von $\begin{eqnarray*} x_{2}² \end{eqnarray*}$ die Wurzel ziehe bekomme ich nicht nur $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ raus, sondern auch $\begin{eqnarray*} -x_{2} \end{eqnarray*}$ und somit ist das nicht mehr eindeutig und deshalb auch nicht injektiv...

oder?

02.05.2015, 12:33

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Surjektivität geht jetzt in die richtige Richtung und liefert dir eine Idee für ein Gegenbeispiel.

Für die Injektivität solltest du dir dringend nochmal den Umgang mit Wurzel und Quadrat ansehen. Entgegen der in der Schule oft gebrachten Regel "Wurzel und Quadrat heben sich einfach auf" gilt eben nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=x \end{eqnarray*}$ . Ohne weitere Einschränkungen an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ müssen Betragsstriche gesetzt werden, also $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2}=|x| \end{eqnarray*}$ , was dir auch für die Injektivität eine Idee geben sollte (die Vorstellung als Parabel kann da auch hilfreich sein).

02.05.2015, 12:42

Jefferson1992

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich nichts mehr.
Zum Verständnis.

Bei der Surjektivität muss es ja für jedes Bild mindestens ein Urbild geben.

Das habe ich doch für diese Funktion gegeben. Für - Werte und + Werte bekomme ich das gleiche Bild, das ist aber ja bei Surjektivität gar nicht schlimm.

Ich weiß momentan nicht, was ich damit anfangen soll, dass $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ vertauscht sind..

Injektiv machen wir später, ich muss erstmal Surjektivität verstehen...

Sorry, ich verzweifel gerade an den trivialsten Dingen.

02.05.2015, 12:47

Iorek

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Dann sieh dir noch einmal die jeweiligen Definitionen an bzw. analysiere die etwas genauer. Es ist richtig, dass jedes Bild (mindestens) ein Urbild haben muss, damit die Funktion surjektiv ist. Aber ist das für diese Funktion wirklich gegeben? Falls ja, dann such dir mal ein beliebiges Bild aus (in diesem Fall gerne auch mal mit konkreten Zahlen) und gib das zugehörige Urbild an. Und wenn das geklappt hat, nimm dir noch eins und gib dazu ein Urbild an. Und noch eins, und noch eins...

Dass $\begin{eqnarray*} x_1,x_2 \end{eqnarray*}$ vertauscht sind, spielt erst einmal keine Rolle, lass dich davon nicht irritieren.

02.05.2015, 12:55

Jefferson1992

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Okay.

Also:

Ich habe es jetzt mal mit Zahlenbeispielen gemacht:

z. B.
$\begin{eqnarray*} h(5,3)=(9,25)=h(-5,-3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(1,1)=(1,1)=h(-1,-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(1,2, )=(4,1)=h(-1,-2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(2,1,)=(1,4)=h(-2,-1) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(\pi , ,e, )=(e²,\pi ²)=h(-\pi,-e) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(a,b))=(b²,a²)=h(-a,-b) \end{eqnarray*}$

Also wie es aussieht, ist diese Funktion surjektiv.
Wo liegt mein Fehler? Oder ist sie surjektiv?

02.05.2015, 12:59

Iorek

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Was soll denn $\begin{eqnarray*} h(-5,5,-3,3) \end{eqnarray*}$ bedeuten? verwirrt

verwirrt

Dann mal ganz konkret: bestimme das Urbild von $\begin{eqnarray*} (9,16) \end{eqnarray*}$ , anschließend von $\begin{eqnarray*} (49,25) \end{eqnarray*}$ sowie von $\begin{eqnarray*} (1427,526379) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (-16,-25) \end{eqnarray*}$ .

02.05.2015, 13:15

Jefferson1992

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Sorry. Hab schon editiert.

Jetzt weiß ich woraus du hinaus willst.

Ich kann durch das Quadrat kein negatives Bild darstellen,d a dort immer positive Bilder rauskommen.
Somit gibt es Bilder, die kein Urbild haben und somit ist die Funktion nicht surjektiv!

Okay..

und jetzt zur Injektivität.

Da heißt es:

$\begin{eqnarray*} h(x_{1},x_{2})=h(y_{1},y_{2}) -> x_{1}=y_{1} \wedge x_{2}=y_{2} \end{eqnarray*}$

in meinem Fal also:
$\begin{eqnarray*} h(x_{1},x_{2})=h(y_{1},y_{2}) -> x_{1}²=y_{1}² \wedge x_{2}²=y_{2}² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{1}²=|x_{1}| \wedge y_{1}=|y_{1}| -> |x_{1}|=|y_{1}| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}²=|x_{2}| \wedge y_{2}=|y_{2}| -> |x_{2}|=|y_{2}| \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich ja eigentlich eine Fallunterscheidung machen oder?

Wenn $\begin{eqnarray*} x_{1} \geq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} y_{1}\geq 0 \end{eqnarray*}$
Wenn $\begin{eqnarray*} y_{1} \leq 0 \end{eqnarray*}$ dann ist auch $\begin{eqnarray*} y_{1} \leq 0 \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

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