Abbildung von R nach R²

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung von R nach R²
Hallo Leute,

mir ist das ja echt peinlich, weil es wahrscheinlich eine ziemlich triviale Frage ist, aber ich komme einfach nicht weiter
Folgendes Problem:

Ich habe ein paar Funktionen und soll sagen, ob die injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ist ja erstmal nicht schwer.

Dann hatte ich zuerst die Funktion:




Die ist ja logischerweise bijektiv, da jeder y-Wert genau ein X Wert hat und es eine Gerade ist, die in ganz R definiert ist.

Aber bei der Zweiten Funktion verstehe ich schon den Sachzusammenhang nicht.




Erst war ich ganz verwirrt, weil ich dachte es heißt 1,2x-3.
Aber wie ich mir denken kann, ist gemeint, oder?

So das heißt mein Definitionsbereich ist ganz R und am Ende rauskommen soll R², also ein Vektor.

Das einzige was ich sagen kann, ist das R² mächtiger ist als R und es deshalb schonmal nicht surjektiv sein kann, da surjektiv ja bedeutet, dass jeder y-Wert mndestens einmal getroffen wird, es muss also für jedes Bild ein Urbild da sein, und das wird nicht der Fall sein.
Nur wie zeige ich jetzt, dass die Fuktion injektiv, nicht injektiv ist?

Ich stehe einfach total auf dem Schlauch..
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Zitat:
Aber wie ich mir denken kann, ist gemeint, oder?
Jein.in der Aufgabe steht ein Zeilenvektor, das wäre ein Spaltenvektor. Im Kontext der Aufgabe ist das aber wurscht.
Zitat:
ist das R² mächtiger ist als R
Nein, das ist falsch.


Zitat:
Nur wie zeige ich jetzt, dass die Fuktion injektiv
Was ist denn die Definition von injektiv?
 
 
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von R nach R²
Ja also Injktiv heißt ja, dass ich zum Beispiel 2 Werte aus dem Definitionsbereich nehme, a und b, die nicht gleich sind und die in die Funktion einsetze und wenn a nicht b, dann muss auch f(a) ungeich f(b) sein.

Anschaulich hieße das ja, dass es für jedes Urbild genau ein Bild gibt.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

So und jetzt ist die Frage:
Ist die Abbildung injektiv, so zeige, dass das gilt.
Ist die Abbildung nicht injektiv, so finde ein Gegenbeispiel.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Das erste was ich nicht richtig verstehe ist, in dem Vektor ist ja die x1 Komponente immer 1. Das würde ja schon bedeuten, dass es nicht injektiv sein kann, da die 1 Komponennte immer gleich ist, egal was ich einsetze.

Wenn das unrelevant und totaler Schwachsinn ist, was ich hier von mir gebe, dann ist die Funktion Injektiv, da es für 2x-3 für jedes Urbild genau ein Bild gibt.


Jetzt zu der Frage mit R² ist mächtger als R. Das stimmt ja nicht, aber wie kann ich dann sagen, dass es nicht surjektiv ist? Ich meine, wenn R genauso mächtig ist wie R², dann gäbe es ja für jedes Bild ein Urbild und die Funktion wäre surjektiv.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Die Verneinung von relevant ist irrelevant.

Zitat:
Ich meine, wenn R genauso mächtig ist wie R², dann gäbe es ja für jedes Bild ein Urbild und die Funktion wäre surjektiv.

Dass zwei Mengen gleichmächtig sind heißt, dass es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt.
Das heißt nicht, dass jede Abbildung bijektiv oder auch nur surjektiv wäre.

Die Definition von injektiv, formal ausgedrückt ist:

Formuliere, was das hier konkret bedeutet, und versuche es dann zu beweisen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

hm. Das würde doch bedeuten, dass

daraus folgt

Und das wäre nur bei der Fall.

Heißt das jetzt schon, dass die Funktion injektiv ist?

Zitat:
Die Verneinung von relevant ist irrelevant.


Ah Sorry. Irrelevant. Danke! Hammer


Zitat:
Dass zwei Mengen gleichmächtig sind heißt, dass es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt. Das heißt nicht, dass jede Abbildung bijektiv oder auch nur surjektiv wäre.


Das heißt also, wenn ich mindestens eine Abbildung gibt von R nach R² die bijektiv ist, dann sagt man sind R und R² gleichmächtig, richtig?
Surjektiv wurde uns anschaulich so erklärt, dass es zu jedem Bild ein Urbild geben muss. Heißt wenn es von R auf R abgebildet wird, muss die Funktion auch "Unendlich" viele y-Werte haben sowohl für -x als auch für +x.
Ist das überhaupt richtig oder habe ich da etwas falsch verstanden?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
hm. Das würde doch bedeuten, dass

daraus folgt

Und das wäre nur bei der Fall.
Nein. Was tust du hier? Was für eine Aufgabe soll das sein? Wieso setzt du gearde diese Werte ein? Und wieso f?


Zitat:
Das heißt also, wenn ich mindestens eine Abbildung gibt von R nach R² die bijektiv ist, dann sagt man sind R und R² gleichmächtig, richtig?
Das ist die Definition des Begriffs "Gleichmächtig".

Bitte beschäftige dich erstmal mit dem einen Teil der Aufgabe, nicht mit beiden gleichzeitig.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung von R nach R²
okay. sorry.
war zu undurchdacht.

nochmal langsam. Schritt für Schritt..

Ich habe folgende Funktion:





Zu Zeigen ist, ob diese Funktion Injektiv ist.

Injektiv heißt in meinem Fall:



ist die Umkehrfunktion von , oder?

Ich stehe halt gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie ich da eine Darstellung kriege, die ungefähr so aus sieht

verwirrt
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
ist die Umkehrfunktion von , oder?
Nein.
g(x) ist g ausgewertet bei x, g(y) ist g ausgewertet bei y.


Zitat:
Ich stehe halt gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie ich da eine Darstellung kriege, die ungefähr so aus sieht
Gar nicht. Und wieso sollte man/du/wer-auch-immer das wollen?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Jetzt bin ich mir total unsicher, aber, falls ich das richtig verstande habe,

ist und edit: da muss ich doch y für x einsetzen oder?..

ist das erstmal richtig?...

Zitat:
Gar nicht. Und wieso sollte man/du/wer-auch-immer das wollen?


Ich weiß auch nicht traurig

Habe gerade irgendwie überhaupt keine Ahnung, was ich tue..

Warum hänge ich eigentlich an genau dieser Aufgabe. Ale anderen habe ich schon gelöst und mit der Übungsgruppe besprochen, aber an genau dieser Aufgabe hängen wir momentan alle. So schwer kann die doch nicht sein..
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
So schwer kann die doch nicht sein..
Die Aufgabe ist auch nicht schwer.
Aber du offenbarst massive Lücken in den elementaren Grundlagen. (das ist keine Übertreibung)

g(x) ist laut Aufgabenstellung definiert als g(x)=(1,2x-3)

Was ist dann g(1) ?


Zitat:
Ich weiß auch nicht traurig
Wieso schreibst du es dann? Raten hilft nicht.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich muss einiges nachholen, merke ich gerade.
Vielleicht sollte ich nicht Gerd Fischer - Lineare Algebra durcharbeiten, sondern erstmal etwas Grundlegendes´. Hast du da einen Tip?


Okay. Fangen wir bei 0 an.



Dann wäre

oder?...
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Dann wäre

Ja.
So was ist dann g(y) ?
Und was bedeutet dann hier konkret g(x)=g(y)
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenigstens etwas.

So g(y) würde dann bedeuten, dass ich für X, Y einsetze, dass heißt:



Und würde dann bedeuten;



Und die sind nur gleich, wenn

Dann habe ich also

Also Injektiv!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Richtig.

Zitat:
Und die sind nur gleich, wenn
Das ist nur deine Behauptung/Wunschdenken. Du sollst es beweisen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich das so schreiben:

x1:
x2:




oder ist das Käse?

Weil normal macht man das ja mit einer Konstanten. Also r mal Vekotr 1 = Vektor 2. Muss ich das in dem Fall auch?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Kann ich das so schreiben:







oder ist das Käse?

Nein das ist richtig.

Zitat:
Weil normal macht man das ja mit einer Konstanten. Also r mal Vekotr 1 = Vektor 2.
Keine Ahnung was du meinst.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine Lineare Abhängigkeit. Ist was anderes .

Okay.

ALso ist die Funktion injektiv.

Jetzt zu Surjektiv.

Surjektiv ist ja als



definiert.

In meinem Fall wäre dann:



Und da muss ich immer nur die zweite Kompoente betrachten, also



Und diese Funktion ist auf jeden Fall surjektiv, also stimmt die Behauptung, dass



ist und somit ist die Funktion auch surjektiv, oder?
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Surjektiv ist ja als



definiert.
Nein ist es nicht. Das wäre sogar eher eine Schreibweise für Funktionen. Bitte gewöhne dir zumindest halbwegs exakte mathematische Ausdrucksweise an. Dieser Thread ist ein "gutes" Beispiel dafür, was passiert wenn man nur halbgare und umschreibende Sprache verwendet. Mal ganz abgesehen davon, dass man das zu verstehende auch nur halbgar und umschreibend verstehen kann.

Alles was du danach schreibst ist kaum verständlich und definitiv falsch.
g ist nicht surjektiv.
z.B.
Zitat:
Und da muss ich immer nur die zweite Kompoente betrachten,
Wie kommst du darauf? Und es ist falsch.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber genau das ist doch die Definition von Surjektiv.

Wenn es ein y aus der Werteenge gibt, also in meinem Fall aus , dann muss es mindestens ein x geben aus dem Definitionsbereich, also bei mir . Damit ist.

Warum ist das denn jetzt falsch?

Und wenn ich dann meine Funktion betrachte, dann habe ich als nötiges Kriterium für Surjektivität.

und

Und die erste Kompoente kann ich meiner Meinung nach weglassen, weil die sich, egal was ich für x einsetze nicht ändert, die ist immer 1.

und bei kann ich alles aus R einsetzen und kriege immer mindestens einen y Wert raus.

Waru kann ich das so nicht machen und wie würde man es machen?

...

Danke!
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber genau das ist doch die Definition von Surjektiv.
Auf nein-doch-aww. habe ich keine sonderliche Lust.

Zitat:
Wenn es ein y aus der Werteenge gibt, also in meinem Fall aus , dann muss es mindestens ein x geben aus dem Definitionsbereich, also bei mir . Damit ist.
Das trifft es schon eher. Dir ist hoffentlich klar, dass zwei Sätze was ganz was anderes sind als einfach ein Teil der zwei Sätze. (was y=f(x) wäre)
Formal ist die Definition von surjektiv: (darum drückst du dich hier schin die ganze Zeit)
Eine Abbildung heißt surjektiv, falls

Nenne mal irgendein Element aus
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. okay.
Ich lerne daraus, man drückt sich imer Mathematisch korrekt aus und nicht nur halb, da es dann auch etwas ganz anderes sein kann. Ich werde es mir zu Herzen nehmen.

Zurück zum Thema:

Ein Element aus R² wäre im Prinzip jeder Vektor mit (a,b).

Moment. Sehe ich das gerade richtig, dass laut Definition dann für alle Vektoren mit (a,b) es mindestens ein x geben muss, sodass g(x)=(a,b).

Und ein Vektor mit 2 Komponenten ist nur darstellbar, wenn x auch ein Vektor ist, da aber x Element von R und nicht von R² ist, ist das gar nicht möglich.

Ich versuche es mal mathematisch:

Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Nenne mal irgendein Element aus
Heißt irgendein konkretes Element.

Zitat:
Und ein Vektor mit 2 Komponenten ist nur darstellbar, wenn x auch ein Vektor ist, da aber x Element von R und nicht von R² ist, ist das gar nicht möglich.
Auch hier kann ich wieder nur raten was du meinen könntest. Reelle Zahlen sind allerdings auch Vektoren.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ich kann doch kein zweizeiligen Vektor in R darstellen, nur im R² oder?


Konkretes Element: (1, 2)
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Aber ich kann doch kein zweizeiligen Vektor in R darstellen, nur im R² oder?
Ja, und was soll das wiedersprechen.

Zitat:
Konkretes Element: (1, 2)
Wunderbar. Und das Spiel spielen wir solang, bis wir ein Element finden das kein Urbild unter g hat.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

ja (2, 3) zum Beispiel, da die erste Kompoente immer 1 ist.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

So und damit wäre gezeigt, dass g nicht surjektiv ist.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Zählt das denn als Beweis, wenn ich das mit einem Zahlenbeispiel mache?

Also ist g(x) injektiv und nicht surjektiv.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Zählt das denn als Beweis, wenn ich das mit einem Zahlenbeispiel mache?
Du machst kein Beispiel, sondern ein Gegenbeispiel. Es wird hier nicht gezeigt sondern wiederlegt, und das geht mit einem Gegenbeispiel.

Zitat:
Also ist g(x) injektiv und nicht surjektiv.
Die Abbildung ist g, g(x) ist ein Element von
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay. Alles klar.

Also ist die Abbildung g, gegeben durch g: R -> R², g(x)=(1, 2x-3) injektiv.

Vielen Dank für die Mühe. Werde mich in Zukunft besser ausdrücken und mehr nachdenken.

Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend und bedanke mich recht herzlich für Ihre Hilfe!
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
R² nach R²
Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage:

Habe jetzt die folgende Funktion:



Dann habe ich erstmal Injektivitt gezeigt durch:

1. Behauptung








Diese Funktion ist Injektiv.

2. Behauptung


Von da muss ich wieder auf kommen. Heißt ich ziehe auf bedein Seiten die Wurzel und erhalte:



Das ist aber ungleich

Also ist diese Funktion nicht surjektiv.

Ist das richtig?

Danke!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: R² nach R²
Zitat:
Original von Jefferson1992




Versuch diesen Schritt doch einmal sauber zu begründen. Und für die Surjektivität solltest du dir auch erst einmal ein "Bild" von der Funktion machen, wie sehen die Funktionswerte aus? Gibt es auf den ersten Blick Werte, die nicht getroffen werden können?
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Danke für die schnelle Antwort.

Was meinst du mit sauber begründen?


Zur Surjektivität.

Die Funktion dürfte eigentlich wie eine quadratische Funktion aussehen nur halt im R², das heißt es werden keine Minus Werte getroffen und somit ist sie schon nicht mehr surjektiv.


Jetzt weiß ich was du meinst.

Wenn ich von die Wurzel ziehe bekomme ich nicht nur raus, sondern auch und somit ist das nicht mehr eindeutig und deshalb auch nicht injektiv...

oder?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Die Surjektivität geht jetzt in die richtige Richtung und liefert dir eine Idee für ein Gegenbeispiel.

Für die Injektivität solltest du dir dringend nochmal den Umgang mit Wurzel und Quadrat ansehen. Entgegen der in der Schule oft gebrachten Regel "Wurzel und Quadrat heben sich einfach auf" gilt eben nicht . Ohne weitere Einschränkungen an müssen Betragsstriche gesetzt werden, also , was dir auch für die Injektivität eine Idee geben sollte (die Vorstellung als Parabel kann da auch hilfreich sein).
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt verstehe ich nichts mehr.
Zum Verständnis.

Bei der Surjektivität muss es ja für jedes Bild mindestens ein Urbild geben.

Das habe ich doch für diese Funktion gegeben. Für - Werte und + Werte bekomme ich das gleiche Bild, das ist aber ja bei Surjektivität gar nicht schlimm.

Ich weiß momentan nicht, was ich damit anfangen soll, dass und vertauscht sind..

Injektiv machen wir später, ich muss erstmal Surjektivität verstehen...

Sorry, ich verzweifel gerade an den trivialsten Dingen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann sieh dir noch einmal die jeweiligen Definitionen an bzw. analysiere die etwas genauer. Es ist richtig, dass jedes Bild (mindestens) ein Urbild haben muss, damit die Funktion surjektiv ist. Aber ist das für diese Funktion wirklich gegeben? Falls ja, dann such dir mal ein beliebiges Bild aus (in diesem Fall gerne auch mal mit konkreten Zahlen) und gib das zugehörige Urbild an. Und wenn das geklappt hat, nimm dir noch eins und gib dazu ein Urbild an. Und noch eins, und noch eins...

Dass vertauscht sind, spielt erst einmal keine Rolle, lass dich davon nicht irritieren.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Also:

Ich habe es jetzt mal mit Zahlenbeispielen gemacht:

z. B.







Also wie es aussieht, ist diese Funktion surjektiv.
Wo liegt mein Fehler? Oder ist sie surjektiv?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn bedeuten? verwirrt

Dann mal ganz konkret: bestimme das Urbild von , anschließend von sowie von und .
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry. Hab schon editiert.

Jetzt weiß ich woraus du hinaus willst.

Ich kann durch das Quadrat kein negatives Bild darstellen,d a dort immer positive Bilder rauskommen.
Somit gibt es Bilder, die kein Urbild haben und somit ist die Funktion nicht surjektiv!

Okay..

und jetzt zur Injektivität.

Da heißt es:



in meinem Fal also:





Jetzt müsste ich ja eigentlich eine Fallunterscheidung machen oder?

Wenn dann ist auch
Wenn dann ist auch

ist das richtig so?
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