Abbildung von R nach R² |
01.05.2015, 17:34 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Abbildung von R nach R² mir ist das ja echt peinlich, weil es wahrscheinlich eine ziemlich triviale Frage ist, aber ich komme einfach nicht weiter Folgendes Problem: Ich habe ein paar Funktionen und soll sagen, ob die injektiv, surjektiv oder bijektiv sind. Ist ja erstmal nicht schwer. Dann hatte ich zuerst die Funktion: Die ist ja logischerweise bijektiv, da jeder y-Wert genau ein X Wert hat und es eine Gerade ist, die in ganz R definiert ist. Aber bei der Zweiten Funktion verstehe ich schon den Sachzusammenhang nicht. Erst war ich ganz verwirrt, weil ich dachte es heißt 1,2x-3. Aber wie ich mir denken kann, ist gemeint, oder? So das heißt mein Definitionsbereich ist ganz R und am Ende rauskommen soll R², also ein Vektor. Das einzige was ich sagen kann, ist das R² mächtiger ist als R und es deshalb schonmal nicht surjektiv sein kann, da surjektiv ja bedeutet, dass jeder y-Wert mndestens einmal getroffen wird, es muss also für jedes Bild ein Urbild da sein, und das wird nicht der Fall sein. Nur wie zeige ich jetzt, dass die Fuktion injektiv, nicht injektiv ist? Ich stehe einfach total auf dem Schlauch.. |
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01.05.2015, 17:41 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo,
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01.05.2015, 17:56 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Abbildung von R nach R² Ja also Injktiv heißt ja, dass ich zum Beispiel 2 Werte aus dem Definitionsbereich nehme, a und b, die nicht gleich sind und die in die Funktion einsetze und wenn a nicht b, dann muss auch f(a) ungeich f(b) sein. Anschaulich hieße das ja, dass es für jedes Urbild genau ein Bild gibt. |
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01.05.2015, 18:07 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So und jetzt ist die Frage: Ist die Abbildung injektiv, so zeige, dass das gilt. Ist die Abbildung nicht injektiv, so finde ein Gegenbeispiel. |
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01.05.2015, 18:15 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das erste was ich nicht richtig verstehe ist, in dem Vektor ist ja die x1 Komponente immer 1. Das würde ja schon bedeuten, dass es nicht injektiv sein kann, da die 1 Komponennte immer gleich ist, egal was ich einsetze. Wenn das unrelevant und totaler Schwachsinn ist, was ich hier von mir gebe, dann ist die Funktion Injektiv, da es für 2x-3 für jedes Urbild genau ein Bild gibt. Jetzt zu der Frage mit R² ist mächtger als R. Das stimmt ja nicht, aber wie kann ich dann sagen, dass es nicht surjektiv ist? Ich meine, wenn R genauso mächtig ist wie R², dann gäbe es ja für jedes Bild ein Urbild und die Funktion wäre surjektiv. |
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01.05.2015, 18:24 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Verneinung von relevant ist irrelevant.
Dass zwei Mengen gleichmächtig sind heißt, dass es eine Bijektion zwischen beiden Mengen gibt. Das heißt nicht, dass jede Abbildung bijektiv oder auch nur surjektiv wäre. Die Definition von injektiv, formal ausgedrückt ist: Formuliere, was das hier konkret bedeutet, und versuche es dann zu beweisen. |
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01.05.2015, 18:37 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hm. Das würde doch bedeuten, dass daraus folgt Und das wäre nur bei der Fall. Heißt das jetzt schon, dass die Funktion injektiv ist?
Ah Sorry. Irrelevant. Danke!
Das heißt also, wenn ich mindestens eine Abbildung gibt von R nach R² die bijektiv ist, dann sagt man sind R und R² gleichmächtig, richtig? Surjektiv wurde uns anschaulich so erklärt, dass es zu jedem Bild ein Urbild geben muss. Heißt wenn es von R auf R abgebildet wird, muss die Funktion auch "Unendlich" viele y-Werte haben sowohl für -x als auch für +x. Ist das überhaupt richtig oder habe ich da etwas falsch verstanden? |
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01.05.2015, 18:41 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Bitte beschäftige dich erstmal mit dem einen Teil der Aufgabe, nicht mit beiden gleichzeitig. |
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01.05.2015, 18:50 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Abbildung von R nach R² okay. sorry. war zu undurchdacht. nochmal langsam. Schritt für Schritt.. Ich habe folgende Funktion: Zu Zeigen ist, ob diese Funktion Injektiv ist. Injektiv heißt in meinem Fall: ist die Umkehrfunktion von , oder? Ich stehe halt gerade ein bisschen auf dem Schlauch, wie ich da eine Darstellung kriege, die ungefähr so aus sieht |
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01.05.2015, 18:54 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
g(x) ist g ausgewertet bei x, g(y) ist g ausgewertet bei y.
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01.05.2015, 18:58 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay. Jetzt bin ich mir total unsicher, aber, falls ich das richtig verstande habe, ist und edit: da muss ich doch y für x einsetzen oder?.. ist das erstmal richtig?...
Ich weiß auch nicht Habe gerade irgendwie überhaupt keine Ahnung, was ich tue.. Warum hänge ich eigentlich an genau dieser Aufgabe. Ale anderen habe ich schon gelöst und mit der Übungsgruppe besprochen, aber an genau dieser Aufgabe hängen wir momentan alle. So schwer kann die doch nicht sein.. |
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01.05.2015, 19:05 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber du offenbarst massive Lücken in den elementaren Grundlagen. (das ist keine Übertreibung) g(x) ist laut Aufgabenstellung definiert als g(x)=(1,2x-3) Was ist dann g(1) ?
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01.05.2015, 19:09 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, ich muss einiges nachholen, merke ich gerade. Vielleicht sollte ich nicht Gerd Fischer - Lineare Algebra durcharbeiten, sondern erstmal etwas Grundlegendes´. Hast du da einen Tip? Okay. Fangen wir bei 0 an. Dann wäre oder?... |
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01.05.2015, 19:11 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja. So was ist dann g(y) ? Und was bedeutet dann hier konkret g(x)=g(y) |
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01.05.2015, 19:15 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenigstens etwas. So g(y) würde dann bedeuten, dass ich für X, Y einsetze, dass heißt: Und würde dann bedeuten; Und die sind nur gleich, wenn Dann habe ich also Also Injektiv! |
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01.05.2015, 19:18 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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01.05.2015, 19:22 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Kann ich das so schreiben: x1: x2: oder ist das Käse? Weil normal macht man das ja mit einer Konstanten. Also r mal Vekotr 1 = Vektor 2. Muss ich das in dem Fall auch? |
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01.05.2015, 19:26 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein das ist richtig.
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01.05.2015, 19:30 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich meine Lineare Abhängigkeit. Ist was anderes . Okay. ALso ist die Funktion injektiv. Jetzt zu Surjektiv. Surjektiv ist ja als definiert. In meinem Fall wäre dann: Und da muss ich immer nur die zweite Kompoente betrachten, also Und diese Funktion ist auf jeden Fall surjektiv, also stimmt die Behauptung, dass ist und somit ist die Funktion auch surjektiv, oder? |
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01.05.2015, 19:38 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Alles was du danach schreibst ist kaum verständlich und definitiv falsch. g ist nicht surjektiv. z.B.
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01.05.2015, 19:49 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber genau das ist doch die Definition von Surjektiv. Wenn es ein y aus der Werteenge gibt, also in meinem Fall aus , dann muss es mindestens ein x geben aus dem Definitionsbereich, also bei mir . Damit ist. Warum ist das denn jetzt falsch? Und wenn ich dann meine Funktion betrachte, dann habe ich als nötiges Kriterium für Surjektivität. und Und die erste Kompoente kann ich meiner Meinung nach weglassen, weil die sich, egal was ich für x einsetze nicht ändert, die ist immer 1. und bei kann ich alles aus R einsetzen und kriege immer mindestens einen y Wert raus. Waru kann ich das so nicht machen und wie würde man es machen? ... Danke! |
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01.05.2015, 19:55 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Formal ist die Definition von surjektiv: (darum drückst du dich hier schin die ganze Zeit) Eine Abbildung heißt surjektiv, falls Nenne mal irgendein Element aus |
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01.05.2015, 20:05 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry. okay. Ich lerne daraus, man drückt sich imer Mathematisch korrekt aus und nicht nur halb, da es dann auch etwas ganz anderes sein kann. Ich werde es mir zu Herzen nehmen. Zurück zum Thema: Ein Element aus R² wäre im Prinzip jeder Vektor mit (a,b). Moment. Sehe ich das gerade richtig, dass laut Definition dann für alle Vektoren mit (a,b) es mindestens ein x geben muss, sodass g(x)=(a,b). Und ein Vektor mit 2 Komponenten ist nur darstellbar, wenn x auch ein Vektor ist, da aber x Element von R und nicht von R² ist, ist das gar nicht möglich. Ich versuche es mal mathematisch: |
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01.05.2015, 20:08 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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01.05.2015, 20:10 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Aber ich kann doch kein zweizeiligen Vektor in R darstellen, nur im R² oder? Konkretes Element: (1, 2) |
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01.05.2015, 20:13 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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01.05.2015, 20:16 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ja (2, 3) zum Beispiel, da die erste Kompoente immer 1 ist. |
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01.05.2015, 20:21 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
So und damit wäre gezeigt, dass g nicht surjektiv ist. |
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01.05.2015, 20:22 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Zählt das denn als Beweis, wenn ich das mit einem Zahlenbeispiel mache? Also ist g(x) injektiv und nicht surjektiv. |
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01.05.2015, 20:28 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
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01.05.2015, 20:33 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
okay. Alles klar. Also ist die Abbildung g, gegeben durch g: R -> R², g(x)=(1, 2x-3) injektiv. Vielen Dank für die Mühe. Werde mich in Zukunft besser ausdrücken und mehr nachdenken. Ich wünsche Ihnen noch einen schönen Abend und bedanke mich recht herzlich für Ihre Hilfe! |
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02.05.2015, 12:15 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
R² nach R² Jetzt habe ich doch nochmal eine Frage: Habe jetzt die folgende Funktion: Dann habe ich erstmal Injektivitt gezeigt durch: 1. Behauptung Diese Funktion ist Injektiv. 2. Behauptung Von da muss ich wieder auf kommen. Heißt ich ziehe auf bedein Seiten die Wurzel und erhalte: Das ist aber ungleich Also ist diese Funktion nicht surjektiv. Ist das richtig? Danke! |
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02.05.2015, 12:19 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: R² nach R²
Versuch diesen Schritt doch einmal sauber zu begründen. Und für die Surjektivität solltest du dir auch erst einmal ein "Bild" von der Funktion machen, wie sehen die Funktionswerte aus? Gibt es auf den ersten Blick Werte, die nicht getroffen werden können? |
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02.05.2015, 12:28 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Danke für die schnelle Antwort. Was meinst du mit sauber begründen? Zur Surjektivität. Die Funktion dürfte eigentlich wie eine quadratische Funktion aussehen nur halt im R², das heißt es werden keine Minus Werte getroffen und somit ist sie schon nicht mehr surjektiv. Jetzt weiß ich was du meinst. Wenn ich von die Wurzel ziehe bekomme ich nicht nur raus, sondern auch und somit ist das nicht mehr eindeutig und deshalb auch nicht injektiv... oder? |
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02.05.2015, 12:33 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Surjektivität geht jetzt in die richtige Richtung und liefert dir eine Idee für ein Gegenbeispiel. Für die Injektivität solltest du dir dringend nochmal den Umgang mit Wurzel und Quadrat ansehen. Entgegen der in der Schule oft gebrachten Regel "Wurzel und Quadrat heben sich einfach auf" gilt eben nicht . Ohne weitere Einschränkungen an müssen Betragsstriche gesetzt werden, also , was dir auch für die Injektivität eine Idee geben sollte (die Vorstellung als Parabel kann da auch hilfreich sein). |
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02.05.2015, 12:42 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Jetzt verstehe ich nichts mehr. Zum Verständnis. Bei der Surjektivität muss es ja für jedes Bild mindestens ein Urbild geben. Das habe ich doch für diese Funktion gegeben. Für - Werte und + Werte bekomme ich das gleiche Bild, das ist aber ja bei Surjektivität gar nicht schlimm. Ich weiß momentan nicht, was ich damit anfangen soll, dass und vertauscht sind.. Injektiv machen wir später, ich muss erstmal Surjektivität verstehen... Sorry, ich verzweifel gerade an den trivialsten Dingen. |
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02.05.2015, 12:47 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann sieh dir noch einmal die jeweiligen Definitionen an bzw. analysiere die etwas genauer. Es ist richtig, dass jedes Bild (mindestens) ein Urbild haben muss, damit die Funktion surjektiv ist. Aber ist das für diese Funktion wirklich gegeben? Falls ja, dann such dir mal ein beliebiges Bild aus (in diesem Fall gerne auch mal mit konkreten Zahlen) und gib das zugehörige Urbild an. Und wenn das geklappt hat, nimm dir noch eins und gib dazu ein Urbild an. Und noch eins, und noch eins... Dass vertauscht sind, spielt erst einmal keine Rolle, lass dich davon nicht irritieren. |
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02.05.2015, 12:55 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay. Also: Ich habe es jetzt mal mit Zahlenbeispielen gemacht: z. B. Also wie es aussieht, ist diese Funktion surjektiv. Wo liegt mein Fehler? Oder ist sie surjektiv? |
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02.05.2015, 12:59 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Was soll denn bedeuten? Dann mal ganz konkret: bestimme das Urbild von , anschließend von sowie von und . |
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02.05.2015, 13:15 | Jefferson1992 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sorry. Hab schon editiert. Jetzt weiß ich woraus du hinaus willst. Ich kann durch das Quadrat kein negatives Bild darstellen,d a dort immer positive Bilder rauskommen. Somit gibt es Bilder, die kein Urbild haben und somit ist die Funktion nicht surjektiv! Okay.. und jetzt zur Injektivität. Da heißt es: in meinem Fal also: Jetzt müsste ich ja eigentlich eine Fallunterscheidung machen oder? Wenn dann ist auch Wenn dann ist auch ist das richtig so? |
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