Untermannigfaltigkeit, Globale Karte und Orientierbarkeit

01.05.2015, 18:03	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Untermannigfaltigkeit, Globale Karte und Orientierbarkeit Hallo, ich hänge leider an folgendem Problem: Gegeben sei M $\begin{eqnarray} M := \left\lbrace (x,y,z) : x^2+y^2 = z \right\rbrace \end{eqnarray}$ Ich soll nun zeigen, dass 1) M eine 2-dimensionale UMF des R³ ist. 2) die Abbildung $\begin{eqnarray} \Phi:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3, \qquad (x,y) \mapsto (x,y,x^2+y^2) \end{eqnarray}$ eine globale Karte von M ist. 3) M orientierbar ist, also insbesondere dass die Orientierung so festgelegt werden kann,dass die Karte positiv orientiert ist. Also 1) habe ich so gelöst: Ich habe eine Funktion f genommen, mit $\begin{eqnarray} f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, (x,y,z) \mapsto z-x^2-y^2 \end{eqnarray}$ deren Nullstellenmenge die UMF gibt. Dann habe ich das differential von f gebildet und man sieht, dass es vollen Rang (1) hat und damit ist M dann eine 2d UMF des R³. Bei 2) hänge ich nun. Also ich habe mir noch einmal die Defintion der Karte aus unserem Skript angesehen und dort steht: [attach]37926[/attach] Leider weiß ich gar nicht so genau was ich jetzt tun soll. Also ich sehe dass Phi stetig ist. Muss ich jetzt auch schauen ob die Umkehrabbildung stetig ist? Mir ist das alles noch nicht ganz klar. Auch weiß ich nicht wie ich zeige, dass es eine globale Karte ist. Bin für jede Hilfe dankbar.

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