Stochastische Prozesse

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Connie Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Prozesse
Meine Frage:
Hallo zusammen,

wir bearbeiten gerade eine Aufgabe zu stochastischen Matrizen, die wie folgt lautet:
Sei P eine 2x2 stochastische Matrix, deren Koeffizienten alle streng positiv sind. Zeigen Sie, dass P einen Eigenwert hat, der streng kleiner Eins ist.

Meine Ideen:
Wir haben versucht, da wir wissen, dass jede stochastische Matrix den Eigenwert 1 besitzt, über das charakteristische Polynom den zweiten Eigenwert explizit zu berechnen, was aber nicht geklappt hat.
Nun fehlen jegliche Ideen, kann uns jemand einen Tipp geben? smile
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Connie
Wir haben versucht, da wir wissen, dass jede stochastische Matrix den Eigenwert 1 besitzt, über das charakteristische Polynom den zweiten Eigenwert explizit zu berechnen, was aber nicht geklappt hat.

Das ist aber ziemlich schlecht, denn folgendes sollte bekannt sein:

Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix. Und dass letztere betragsmäßig kleiner als 1 ist, sollte doch nun wirklich kein Beweisproblem sein.
Connie Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, vielen Dank, das hilft mir schonmal viel weiter. Muss man irgendwie noch zeigen, dass dieser Eigenwert kleiner 1 überhaupt existiert? Da bin ich mir nämlich gerade unsicher.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Rechne es doch komplett durch: Eine stochastische 2x2-Matrix kann durch zwei Parameter parametrisiert werden als



Da in deinem Fall alle Koeffizienten echt positiv sein müssen, ist hier dann sogar , also exklusive der beiden Grenzen 0 und 1.

Die Eigenwert-Gleichung lautet hier

,

d.h. mit den beiden Eigenwerten sowie . Offenbar folgt aus für den zweiten Eigenwert , fertig.
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