Stochastische Prozesse |
01.05.2015, 20:05 | Connie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Stochastische Prozesse Hallo zusammen, wir bearbeiten gerade eine Aufgabe zu stochastischen Matrizen, die wie folgt lautet: Sei P eine 2x2 stochastische Matrix, deren Koeffizienten alle streng positiv sind. Zeigen Sie, dass P einen Eigenwert hat, der streng kleiner Eins ist. Meine Ideen: Wir haben versucht, da wir wissen, dass jede stochastische Matrix den Eigenwert 1 besitzt, über das charakteristische Polynom den zweiten Eigenwert explizit zu berechnen, was aber nicht geklappt hat. Nun fehlen jegliche Ideen, kann uns jemand einen Tipp geben? |
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01.05.2015, 22:21 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist aber ziemlich schlecht, denn folgendes sollte bekannt sein: Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante der Matrix. Und dass letztere betragsmäßig kleiner als 1 ist, sollte doch nun wirklich kein Beweisproblem sein. |
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02.05.2015, 09:27 | Connie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, vielen Dank, das hilft mir schonmal viel weiter. Muss man irgendwie noch zeigen, dass dieser Eigenwert kleiner 1 überhaupt existiert? Da bin ich mir nämlich gerade unsicher. |
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04.05.2015, 11:50 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechne es doch komplett durch: Eine stochastische 2x2-Matrix kann durch zwei Parameter parametrisiert werden als Da in deinem Fall alle Koeffizienten echt positiv sein müssen, ist hier dann sogar , also exklusive der beiden Grenzen 0 und 1. Die Eigenwert-Gleichung lautet hier , d.h. mit den beiden Eigenwerten sowie . Offenbar folgt aus für den zweiten Eigenwert , fertig. |
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