Stetigkeit zeigen

01.05.2015, 21:31

xaittt

Stetigkeit zeigen

Hi

Ich habe folgende Funktion gegeben:

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, f(x,y) \mapsto \begin{cases} \frac{x^3}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Um stetigkeit zu zeigen, reicht es doch wenn ich zeige dass die Funktion in (0,0) stetig ist, da die Funktion ja ansonsten einfach nur eine Komposition stetiger Funktionen ist.
Stimmt das?

lg

01.05.2015, 21:41

IfindU

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RE: Stetigkeit zeigen
Stimmt.

02.05.2015, 12:36

xaittt

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Danke. Ich habe das mit dem $\begin{eqnarray*} \delta - \epsilon \end{eqnarray*}$ Kriterium so gemacht:

$\begin{eqnarray*} |(x,y) - (0,0)| = |(x,y)| = \sqrt{x^2+y^2} < \delta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |f(x,y) - f(0,0)| = |\frac{x^3}{x^2+y^2}| \le |\frac{x(x^2+y^2)}{x^2+y^2}| = |x| = \sqrt{x^2} \le \sqrt{x^2+y^2} < \delta := \epsilon \end{eqnarray*}$

Passt so oder? Eine Frage bzgl den Beträgen, kann man hier überhaupt den Betrag nehmen oder nimmt man hier die allgemeine Norm $\begin{eqnarray*} || . || \end{eqnarray*}$ ?

Desweiteren sollte man noch zeigen dass die Funktion in (0,0) nicht diffbar ist. Das habe ich so gemacht, in dem ich zeige dass die partielle Ableitung nicht stetig in (0,0) ist.
Die partielle Ableitung nach x lautet:

$\begin{eqnarray*} \partial_x f(x,y) = \begin{cases} \frac{x^4+3x^2+y^2}{x^2+y^2} & (x,y) \neq (0,0) \\ 0 & (x,y) = (0,0) \end{cases} \end{eqnarray*}$

Sei $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \partial_x f(\frac{1}{n},\frac{1}{n^2}) = \frac{\frac{4}{n^4}}{\frac{4}{n^4}} = 1 \neq 0 = f(0,0) \Rightarrow \end{eqnarray*}$ nicht stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$

Passt das so?

lg

02.05.2015, 13:28

IfindU

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Wie ist denn die "allgemeine" Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \end{eqnarray*}$ definiert?

Das erste ist im Prinzip richtig, allerdings nicht formal richtig aufgeschrieben.

Ansonsten kann eine Funktion differenzierbar sein, ohne stetig differenzierbar zu sein. Was du gemacht hast ist zu zeigen, dass sie in der 0 nicht stetig diff'bar ist -- sie könnte dennoch differenzierbar sein.

02.05.2015, 20:04

xaittt

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Zitat:

Original von IfindU
Wie ist denn die "allgemeine" Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \| \end{eqnarray*}$ definiert?

Das erste ist im Prinzip richtig, allerdings nicht formal richtig aufgeschrieben.

Ansonsten kann eine Funktion differenzierbar sein, ohne stetig differenzierbar zu sein. Was du gemacht hast ist zu zeigen, dass sie in der 0 nicht stetig diff'bar ist -- sie könnte dennoch differenzierbar sein.

Oh ja da hab ich mich zu früh gefreut unglücklich

Gibt es denn eine andere Möglichkeit ausser das direkt über die Definition der totalen Diffbarkeit zu machen, denn wenn ich mir die Def. anschaue:

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{f(x,y) - f(0,0) - L(x,y)}{|(x,y)|}} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich dieses L? Bzw. wie zeige ich das dieses nicht existiert?

Zudem haben wir noch einen Satz in der VOrlesung aufgeschrieben der geht so:
Ist f in einem Punkt a total diffbar $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall x \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x| = 1: D_x f(a) \end{eqnarray*}$ existiert, d.h. die Richtungsableitung in alle Richtungen.

Wenn ich den Satz verneine:
$\begin{eqnarray*} \exists x \in \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x| \neq 1: D_x f(a) \end{eqnarray*}$ existiert nicht $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ totale Ableitung in a existiert nicht.

Stimmt die Verneinung so? Das würde ja heissen ich bräuchte nur so ein x zu finden, in dessen Richtung keine Richtungsableitung existiert?

lg

02.05.2015, 21:06

xaittt

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OK habe noch eine Idee:

Angenommen die obige Funktion ist total diffbar in (0,0), dann existiert ja auch die Jacobi-Matrix. Das wäre in diesem Fall einfach nur der (0,0) Vektor, d.h. das L dass ich vorhin gesucht habe ist einfach 0. D.h. mein Differentenquotient schaut so aus

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{\frac{x^3}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}} = \lim\limits_{(x,y) \rightarrow (0,0)}{\frac{x^3}{\sqrt[3]{x^2+y^2}}} \end{eqnarray*}$

Soo laut Wolframalpha existiert der Grenzwert nicht, was ja schonmal gut wäre, nur ich weiss leidernicht wie ich das zeigen kann. Stimmt das überhaupt soweit?

lg

07.05.2015, 15:57

IfindU

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Ich war leider ein paar Tage verreist.

Wie kommst du darauf, dass die Ableitung (0, 0) sein muss? Wenigstens ich musste mir Gedanken dazu machen.

Aber nun gut, es stimmt, und damit ist der linke Ausdruck genau der zu untersuchende. Danach die Umformung ist dann extrem falsch, ich hoffe einmal ein Tippfehler.

Dann ist genau zu zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Dazu wählt man dann passende Nullfolgen $\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) \end{eqnarray*}$ s.d. man für n gegen unendlich nicht bei 0 in dem Ausdruck landet.

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