Teich mit Fischen, Anzahl bestimmen

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Rike90 Auf diesen Beitrag antworten »
Teich mit Fischen, Anzahl bestimmen
Hallo zusammen,

ich hab folgende Aufgabe:
"Sie haben einen See mit Karpfen und Forellen drin und wollen deren Anzahl (anteilsmäßig) bestimmen. Was machen Sie?"

Meine Idee ist nun, dass ich z.B. zehn Fische fange und wenn darunter 3 Karpfen sind, dann gehe ich davon aus, dass auch insgesamt 3/10 der gesamten Fische Karpfen sind. Je größer ich dabei die Stichprobe mache, desto eher komme ich an den richtigen Wert.

Wäre das schon die Lösung? Kommt mir zu leicht vor, deswegen Idee Nummer 2:

Ich werfe die Fische nach dem Fangen wieder ins Wasser und kann dann die Binomialverteilung nutzen.
, p sei dabei die Wahrscheinlichkeit für Karpfen. Nur wenn ich jetzt rechnen möchte, fehlt mir ja dieses p. Oder ermittel ich dieses durch die Methode oben? Dann wäre p=0,3. Nur würde mir dann noch das k fehlen. verwirrt

Gleiches Problem hätte ich, wenn die hypergeometrische Verteilung nutzen würde, die ja dem mehrfachen Ziehen ohne Zurücklegen aus zwei 2 Klassen beschreibt. Aber das wäre im Beispiel ja auch nicht sonderlich tierfreundlich Augenzwinkern

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Teich mit Fischen, Anzahl bestimmen
Das Ganze sieht mehr nach einem Hypothesentest aus. Allerdings kenne ich mich nur wenig damit aus.
Vllt. hilft das weiter:

http://www.mathematik-wissen.de/hypothesentest.htm

https://www.google.de/?gws_rd=ssl#q=hypothesentest
Rike90 Auf diesen Beitrag antworten »

Hypothesentest? Meinst du wirklich? Da bin ich auch noch ganz schwach drin, aber wie kommst du darauf?
Dabei hab ich dann doch immer eine Hypothese, z.B. beim Münzwurf p=1/2, dann würde ich zigmal werfen um zu schaun, ob ich die Hypthose annehme oder nicht. Aber hier hab ich doch gar keine Zahlen gegeben. Da würd ich eher auf Schätztheorie tippen, was ich hab irgendwie versucht habe. Ich fange 10 Fische, sehe drei Karpfen und schätze die gesamte Anzahl auf 3/10. Dann hätte ich noch den naiven Schätzer als 1/n * Summe von 1bisn Xi, aber damit kann ich hier auch nicht viel anfangen.
adiutor62 Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst nach dem ersten Fang die Vermutung aufstellen, dass 3/10 der Fische Karpfen sind. Diese Hypothese könntest du einem weiteren Fang testen. Du musst "nur" einen geeigneten Test finden.

Ich komme deshalb auf diese Idee, weil du nach dem ersten Fang eine Vermutung/Hypothese hast.
Was liegt da näher als so ein Test ?
Rike90 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab gerade gesehen, dass so eine Aufgabe auch in einer mündlichen Prüfung vorkam. Das Protokoll dazu ist leider nicht vollständig, aber der Prüfer wollte dabei auf Schätzer hinaus.

Also ich nehm mal die Binomialverteilung und mein naiver Schätzer ist . Der Schätzer ist auch erwartungstreu und konsistent und deswegen ein guter Schätzer. Es gilt dann auch .
Nun nähert sich der naive Schätzer nähert sich dem Erwartungwert immer mehr an, wenn der Fang größer wird.

Die Xi sind unabhängig und daher gilt auch , wobei Xi=1, wenn i-ter Fang ein Karpfen und 0, wenn Forelle.

Theoretisch könnte ich das ganze auch mit der hypergeometrischen Verteilung machen (wenn auch nicht tierfreundlich) und die beiden Verteilungen würden sich bei für großes n und festes k annähern.


Sollte nun sein (wie soll ich das bei so einer theoretischen Aufgabe überprüfen?), dann könnte ich den Satz von Moivre-Laplace nutzen und das ganze mit der Standardnormalverteilung annähern.

Viel Theorie, wenig konkretes. verwirrt Würd das soweit stimmen? Müsste ich da wohl noch was zusätzliches berechnen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Prüfer schon auf Schätzer hinaus will, würde ich mich mal nach dem Maximum-Likelihood-Schätzer umsehen. Dazu ist die Annahme der Binomialverteilung (ohne Rücksicht auf biologische Kontexte) ganz nett.
 
 
Rike90 Auf diesen Beitrag antworten »

Och nöö. LM-Schätzer hab ich so gar nicht drauf. Kennt jemand ein Video, in dem das gut erklärt wird?
Rike90 Auf diesen Beitrag antworten »

Bin ich denn oben zumindestens auf dem richtigen Weg gewesen?
Im Protokoll fallen dazu nur folgende Stichworte: Fische fangen und Schätzer angeben, dann hat der Kandidat die Fische nicht wieder freigelassen -> hypergeometrische Verteilung. guter Schätzer: naiver Schätzer, warum gut? (erwartungstreu und konsistent). def. erwartungstreu und das im vorliegenden beispiel vorrechnen. da hats bei ihm gehapert, deswegen fische doch wieder reinwerfen, also binomialverteilung. def. konsistenz. warum ist der naive schätzer in diesem fall kosistent? (Gesetzt der großen Zahlen inkl. Beweis). Ist die Tschebyscheff-Ungleichung eine gute Abschätzung? (nein, Markov ist besser). Was macht man für eine große Anzahl von Fischen? (Moivre-Laplace) und zum abschluss warum macht es für eine große anzahl von fischen nichts aus, ob man die fische wieder reinwirft oder nicht? (hypergeo nähert sich für große n und festes k der binomialverteilung an)

mehr steht in dem protokoll nicht, deswegen weiß ich überhaupt nicht, in wie weit ich da auf dem richtigen weg war.
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