Lineares Gleichungssystem(Matrix) mit 2 Unbekannten

02.05.2015, 14:08

Redneet

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Lineares Gleichungssystem(Matrix) mit 2 Unbekannten

Meine Frage:
Für $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \end{eqnarray*}$ Element aus R ist das folgende reelle lineare Gleichungssystem gegeben:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 2 & 5 & 1 & 1 \\ 3 & 7 & 2 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & \alpha \end{pmatrix} \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ \beta \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
a)Für welche Werte von \alpha und \beta besitzt dieses Gleichungssystem eine eindeutige Lösung, keine Lösung, unendlich viele Lösungen?
b)Geben Sie für den Fall, dass Ax=b eindeutig lösbar ist, die Lösung in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ an.
c)Geben Sie für den Fall unendlich vieler Lösungen den Lösungsraum explizit an.

Meine Ideen:
Ich habe das LGS erst einmal in die Zeilenstufenform gebracht:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 11 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-1 \end{pmatrix}\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 2*\beta \\ 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dann habe ich für x4 = 16/ ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -1)

Leider habe ich keine Ahnung, wie ich jetzt an die Werte von Alpha und Beta komme. Muss ich einfach beliebige Werte einsetzen, damit ich eine eindeutige, keine und unendlich viele Lösungen bekomme?

02.05.2015, 14:28

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Ich habe das LGS erst einmal in die Zeilenstufenform gebracht:

Bist du dir sicher? Ich krieg insbesondere für die letzten beiden Zeilen was anderes raus.

Zitat:

Dann habe ich für x4 = 16/ ( $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -1)

Wann ist denn der Ausdruck definiert?

Zitat:

Muss ich einfach beliebige Werte einsetzen

Dieser Ansatz hilft so gut wie nie.

Zitat:

damit ich eine eindeutige, keine und unendlich viele Lösungen bekomme?

Es gibt Kriterien dafür wann es wieviele Lösungen gibt. Die stehen ziemlich sicher im Skript.

02.05.2015, 14:53

Redneet

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Hier ist mein Weg bis ich die ZSF erreicht habe. Ich kann dort kein Fehler feststellen.
[attach]37937[/attach]

02.05.2015, 15:02

Captain Kirk

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- Ich tu mich etwas schwer die Indices zu lesen, vlt. vertausch ich dann was (woher hast du die Natation eigentlich? Ich kenn die bur die mit großen römischen Ziffern die imho deutlich besser lesbar ist.)

i) Die Zeilenoperationen beziehen sich auf die kompletten Zeilen, also insbesondere auch auf den erweiterten Teil hinter dem Strich.
ii) Du scheinst ab der dritten Matrix die erste Zeile desöfteren abzuziehen (was kontraproduktiv ist). Wieso ändert sich dann bei dir die erste Spalte nicht?

Die Äquivalenz die du unter die Matrizen schreibst gilt nur unter einer Bedingung. Darauf hab ich bereits hingewiesen.

02.05.2015, 15:17

Redneet

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$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ darf nicht 1 sein, weil man nicht durch 0 teilen darf?

Ich verechne immer die aktuelle Zeile mit der obersten Zeile. Und gucke dann mit welchen Faktoren ich die Zeilen mal nehmen muss, damit dort am Ende eine Null steht. So haben wir das in der Uni gelernt...auch die Schreibweise.

02.05.2015, 15:28

Captain Kirk

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ darf nicht 1 sein, weil man nicht durch 0 teilen darf?

Richtig.

Zitat:

So haben wir das in der Uni gelernt

Wenn dem wirklich so ist, wechsel so schnell wie irgend möglich die Uni.

Zitat:

Ich verechne immer die aktuelle Zeile mit der obersten Zeile.

Du gibst vor das zu tun.
Tust es dann aber nicht.
Denn z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 &2 &-1 &-1 \\ 0 & 2 & 0 &\alpha -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die Summe der beiden Zeilen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 4 &-1 &\alpha -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Jeder(!) Eintrag wird summiert.

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02.05.2015, 15:39

Redneet

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Ich habe wohl jeden Eintrag summiert. Die Bezeichnungen am Rand, also Z1 = Z1 usw. sind die Ergebnisse der jeweils oberen Matrix. Ich habe die Addition also dort bereits durchgeführt und muss diese nicht noch erledigen.

So habe ich in deinem Beispielfall (-1) + 1; 0+2; 1+(-1); $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ +(-1); 16+0 gerechnet. Daraus folgt dann die letzte Zeile: 0 2 0 $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ -1 16

02.05.2015, 15:41

Captain Kirk

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Und wie kommst du dann auf die vierte Zeile in der nächsten Matrix?

02.05.2015, 15:50

Redneet

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Habe ich im Beispielfall erklärt. Hoffe man kann es so verstehen.

Ich habe die Matrix
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & \alpha & 16\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und summiere nun die beiden Zeilen miteinander
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \alpha-1 & 16\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.05.2015, 15:57

Captain Kirk

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Zitat:

Habe ich im Beispielfall erklärt.

Ich habe deine Erklärung verstanden und sie funktioniert nicht für den für mir angesprochenen Fall, weil dort in der ersten Spalte 0-1 =-1 stehen müsste und nicht 0.

(Im allerersten Schritt addierst du zur vierten Zeile die erste, danach ziehst du wieder die unveränderte erste Zeile ab und damit sollte die ürsprungliche vierte Ze8ile wieder da stehen, tut sie aber nicht.)

02.05.2015, 16:06

Redneet

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-1 + 1 = 0 und nicht -1

Ich weiß nicht, wo du die 0-1 = -1 her nimmst.

02.05.2015, 16:13

Captain Kirk

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Nochmal:
Wie kommst du zu der vierten Zeile in der dritten(!) Matrix in deiner Rechnung.

Das ist die bei der du $\begin{eqnarray*} z_4-z_1 \end{eqnarray*}$ rechnest. Diese Rechnung würde ich gerne sehen.

Deine Rerchnung habe ich verstanden, die beziehst sich ja nach deiner Auskunft auf die zweite Matrix. Mir geht es aber um die dritte, wie ich bereits den kompletten Thread schreibe.
Die zweite ist noch richtig.

Zitat:

-1 + 1 = 0 und nicht -1

Schön, was hat das mit dem ganzen hier zu tun?

02.05.2015, 16:18

Redneet

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Ok, entschuldige mich. Ich dachte, wir reden noch über die zweite Matrix. Da muss trotzdem eine 1 hin, da ich die erste Zeile von der vierten Zeile subtrahiere. Also 0- (-1) = 1

Hier die Rechnung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & \alpha-1 & 16 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & \alpha & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

02.05.2015, 16:27

Captain Kirk

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Zitat:

wir reden noch über die zweite Matrix.

Wir haben eigentlich nie über die zweite Matrix geredet. Ich hab die falsche Zeilenaddition verwendet, da mich eure Notation komplett verwirrt hat, weil sie gegen die üblichen Konventionen verstößt. Man sagt vorher welche Operationen man durchführt, ihr notiert sie danach.

Zitat:

Hast Recht, da muss eine -1 hin.

Ich hoffe damit ist jetzt auch klar, dass die ganzen "erste Zeile abziehen" Aktionen nach der zweiten Matrix völlig fehl am Platze sind.

P.S.

Zitat:

Da muss trotzdem eine 1 hin, da ich die erste Zeile von der vierten Zeile subtrahiere. Also 0- (-1) = 1

Und seit wann steht in der ersten Zeile -1?
Mal ganz abgesehen davon: Die Schlußfolgerung ist: Es muss eine andere Zeile verwendet werden, nicht die erste.

02.05.2015, 16:33

Redneet

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Um ehrlich zu sein, verwirrt du mich total. Ich kann es nicht ändern, dass wir dies so in der Uni lernen. Auch die Notation kann ich nicht ändern, da unser Prof folgendes gesagt hat: Wenn ihr ein anderes Verfahren benutzt, müsst ihr es vorher erst beweisen, um es dann benutzen zu können. Folglich bleibe ich bei diesem Verfahren, weil das andere zu viel Zeit kostet.

02.05.2015, 16:45

Captain Kirk

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Sorry du verwirrst mich auch total.
Vor allem weil du scheinbar nicht liest was ich schreibe.

Zitat:

Ich kann es nicht ändern, dass wir dies so in der Uni lernen.

Das ist richtig.
Allerdings hast du,was auch immer ihr an der Uni gelernt habt, falsch ausgeführt.
Deine Rechnung ist falsch. Das hab ich im ersten Post gesagt. Und fast der ganze Post bisher dreht sich darum dir klar zu machen, dass dem so ist.

Also was du machen kannst ist, was du gelernt hast richtig zu machen.

Zitat:

Auch die Notation kann ich nicht ändern, da unser Prof folgendes gesagt hat: Wenn ihr ein anderes Verfahren benutzt, müsst ihr es vorher erst beweisen, um es dann benutzen zu können

Notation und Verfahren sind zwei verschiedene Dinge. Ich habe gesagt warum mich (!) eure Notation verwirrt und warum sie meiner Meinung nach schlecht ist. Ich habe nirgendwo gesagt, dass du etwas anderes benutzen sollst.

Zitat:

weil das andere zu viel Zeit kostet.

Welches andere Verfahren? Wieso kostet das soviel Zeit?
Was ist denn überhaupt dein Verfahren?

Hast du deine Rechnung jetzt nochmal richtig gemacht?

02.05.2015, 17:07

Redneet

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Das Verfahren nennt sich Gaußes Eleminationsverfahren. Allerdings kenne ich das aus der Schule auch anders. Aber in der Uni wenden wir es nun einmal so an. Verstehe immer noch nicht, was an meinem Verfahren falsch sein soll. Schließlich betrachten wir die Reihe, die wir auf Null gebracht haben nicht mehr.

02.05.2015, 17:14

Captain Kirk

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Zitat:

Das Verfahren nennt sich Gaußes Eleminationsverfahren

Gaußsches Eliminationsverfahren. Und ja richtig angewandt ist das hier genau richtig.

Zitat:

Verstehe immer noch nicht, was an meinem Verfahren falsch sein soll.

Auch hier nochmal: Was ist denn jetzt genau "dein" Verfahren. Bis jetzt dreht sich die Diskussion eigentlich nur um deine Rechenfehler.
Du scheinst zu wissen was dein Verfahren ist, mir ist das leider nicht klar. Bitte beschreib mir das genau. (Oder ist dein Verfahren ernsthaft immer die erste Zeile abziehen?)

Zitat:

Schließlich betrachten wir die Reihe,

Was haben Reihen damit zu tun? Meinst die evtl. Spalten?

02.05.2015, 17:24

Redneet

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Die Spalten, in denen alle anderen Werte 0 sind außer die erste Zeile, betrachtet man nicht mehr. Ich weiß nicht, wie ich das anders erklären soll.

02.05.2015, 17:29

Captain Kirk

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Zitat:

Die Spalten, in denen alle anderen Werte 0 sind außer die erste Zeile, betrachtet man nicht mehr.

Was du wohl meinst ist:
Die Spalten in denen alle Einträge unterhalb der Diagonale 0 sind betrachtet man nicht mehr.
(Bitte mach dir den Unterschied klar).
Das kann man durchaus so machen. Dann muss man aber gleichzeitig - und das habt ihr auch sicher so gelernt - verwendet man auch die entsprechenden Zeilen nicht mehr.

02.05.2015, 17:35

Redneet

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Ja wahrscheinlich, weil wir immer nur die erste Zeile benutzt haben.

02.05.2015, 17:46

Captain Kirk

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Zitat:

Ja wahrscheinlich

Ja , zu welcher Aussage?

Zitat:

weil wir immer nur die erste Zeile benutzt haben.

Wobei? In welchem Kontext?

02.05.2015, 17:50

Redneet

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Zitat:

Dann muss man aber gleichzeitig - und das habt ihr auch sicher so gelernt - verwendet man auch die entsprechenden Zeilen nicht mehr.

02.05.2015, 17:53

Captain Kirk

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Gut, dann hätten wir jetzt also die Grundsatzdiskussion hoffentlich hinter uns, und du kannst rangehen und das ganze jetzt einmal richtig ausrechnen.

02.05.2015, 17:56

Redneet

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Ich habe die Regel ja befolgt.

02.05.2015, 17:59

Captain Kirk

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unglücklich

Nein hast du nicht.
Du hast andauernd die erste Zeile verwendet.

Ich hab langsam keine Lust mehr mich zu wiederholen.

03.05.2015, 14:30

Redneet

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A * x = b => (A|b)

Ok, ich glaube ich habe den Fehler gefundenm:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 7 & 2 & 2 & \beta \\ -1 & 0 & 1 & \alpha & 16 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 5 & 5 & \beta \\ 0 & 2 & 0 & \alpha-1 & 16 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & \beta-2 \\ 0 & 0 & -6 & \alpha-7 & 12 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & \beta-2 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-3 & \beta+8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Daraus folgt dann:
$\begin{eqnarray*} x4 = \frac{\beta+8}{\alpha-3} \end{eqnarray*}$
Also kann $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ nicht den Wert 3 annehmen.

03.05.2015, 14:44

Captain Kirk

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Die letzte Zeile der letzten Matrix ist falsch.

03.05.2015, 15:01

Redneet

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Stimmt, habe die dritte Zeile mal 2 genommen, statt sie mit 3 zu multiplizieren. Hier die Lösung:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 2 & \beta-2 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-1 & \beta+6 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

03.05.2015, 15:08

Captain Kirk

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Jetzt ist das Vorgehen richtig, du hast aber immer noch einen Rechen/Tippfehler drin.

03.05.2015, 15:11

Redneet

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Wo denn? bzw. wie müsste es richtig aussehen?

03.05.2015, 15:12

Captain Kirk

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Zitat:

Wo denn?

Der letzte Eintrag.

03.05.2015, 15:15

Redneet

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12 + 3*( $\begin{eqnarray*} \beta-2 \end{eqnarray*}$ ) = $\begin{eqnarray*} \beta+6 \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} \beta+6 \end{eqnarray*}$

03.05.2015, 15:17

Captain Kirk

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Ähh, wie bitte?
Wie folgt aus der linken Gleichung die rechte?
Was sollen die miteinander zu tun haben.

03.05.2015, 15:43

Captain Kirk

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Zu editieren nachdem dir bereits geantwortet wurde hat für dich einen massiven Nachteil:
Ich seh's nicht auf der Startseite,d.h. ich weiß nicht, dass du gern eine Antwort hättest.

Davon abgesehen, ist es extrem schlechter Stil, weil dann der nachfolgende Post seinen Kontext verliert.

Die Rechnung ist falsch, denn du multiplizierst falsch aus.

03.05.2015, 15:49

Redneet

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$\begin{eqnarray*} 12 + 3*(\beta-2) = 3\beta+6 \end{eqnarray*}$

03.05.2015, 15:51

Captain Kirk

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Richtig.

03.05.2015, 15:53

Redneet

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Und wie genau, löse ich jetzt die Aufgaben?

03.05.2015, 15:56

Captain Kirk

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Siehe meinen ersten Post.

03.05.2015, 16:02

Redneet

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$\begin{eqnarray*} (BAC,Bb) = \begin{pmatrix} A1 & A2 & b1 \\ 0 & 0 & b2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.keine Lösung, falls b2 ungleich 0.
2. genau eine Lösung, falls b2=0 und s=n.
3. mehrere Lösung, falls b2=0 und s<n.

Leider verstehe ich die Schreibweise der Matrix nicht.

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