Wie hoch steht das Wasser im Gefäß, Integralrechnung

02.05.2015, 14:13

Gamtja

Wie hoch steht das Wasser im Gefäß, Integralrechnung

Problem:
Die Fläche der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt{k (x+2)} \end{eqnarray*}$ dreht sich um die x-Achse im Intervall [x=0, x=6]. Radius der Schüssel 41/5 cm.

1.) Berechne das Volumen
2.) Wenn 1/4l Wasser im Gefäß ist, wie hoch steht dann das Wasser im Gefäß ?

Idee:
1.) k = 8,405, V= 792,15cm³

2.) in 1000cm³ passt 1 Liter. also passt in 792,15cm³, 792,15ml. Ich weiß zwar nicht was mir dieses Wissen bringt aber das war meine erste Überlegung.

1/4 Liter ist also 250ml... , insgesamt ist die Schüssel 6cm Tief..

So und weiter weiß ich nicht.

02.05.2015, 15:32

Mathema

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} f_k(x) = \sqrt{k (x+2)} \end{eqnarray*}$ .

Du suchst doch nun die obere Grenze deines Integrals, also:

$\begin{eqnarray*} 250= \pi \int_{0}^{h} \! (\sqrt{8.405(x+2)})^2 \, dx \end{eqnarray*}$

Nun solltest du h berechnen können.

Wink

03.05.2015, 18:28

Gamtja

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Hm ja, kling einleuchtend.

Nur leider fehlt mir wohl wieder das nötige know how.

Also
2.) k = 8,405
$\begin{eqnarray*} 250cm³ = \pi \cdot \int_{0}^{h} \! k(x+2) \, dx \end{eqnarray*}$

Integral auflösen:
$\begin{eqnarray*} 250cm³ = \pi k \left [ \frac{x²}{2} + 2x\right ]_{0}^{h} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 250cm³ = \pi k \left [ \frac{h²}{2} + 2h\right ] = h² \frac{\pi k}{2} + h 2 \pi k \end{eqnarray*}$

Vereinfachen:
So nun dachte ich, ich vereinfache nun mithilfe der Polynomdivision aber irgendwie mach ich das wohl nicht richtig.

$\begin{eqnarray*} (h² \frac{\pi k}{2} + h 2 \pi k) : (h+4) = h \frac{\pi k}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 250 = h \frac{\pi k}{2} \end{eqnarray*}$

So ab hier weiß ich das es nicht stimmt.

*edit: also mein Ziel ist natürlich nach "h" umzuformen.

03.05.2015, 18:39

Mathema

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} 250cm³ = \pi k \left [ \frac{h²}{2} + 2h\right ] = h² \frac{\pi k}{2} + h 2 \pi k \end{eqnarray*}$

Bringen wir die 250 auf die andere Seite ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\pi k h^2 + 2 \pi kh -250 = 0 \end{eqnarray*}$

Wieso du nun eine Polynomdivision durchführen willst, ist mir schleierhaft. Dafür müsstest du ja eine Nullstelle bereits kennen. Und $\begin{eqnarray*} -4 \end{eqnarray*}$ ist keine Nullstelle.

Wieso wendest du nicht einfach die pq-Formel an? verwirrt

03.05.2015, 18:46

Gamtja

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Ja stimmt, ich habs auch gerade gecheckt das ich das einfach so machen kann.

h = 2,789cm

03.05.2015, 18:47

Mathema

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