Existenz von Komposition/Verkettung von Funktionen

02.05.2015, 14:19

Jefferson1992

Existenz von Komposition/Verkettung von Funktionen

Hallo

Ich soll sagen, ob eine Komposition zwischen 2 Funktionen besteht.

Nur zum Verständnis, ob ich es richtig verstanden habe.

Nehmen wir an ich habe die Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f: R->R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: R-> R² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h: R² -> R \end{eqnarray*}$

Jetzt existieren doch;

$\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g \circ h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h \circ f \end{eqnarray*}$

mehr nicht oder?

Danke!

02.05.2015, 15:33

Math1986

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RE: Existenz von Komposition/Verkettung von Funktionen
Kannst du das jeweils auch begründen? verwirrt

Nicht alles davon stimmt.

02.05.2015, 16:04

Jefferson1992

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Ich habe es so in Erinnerung, dass der Wertebreich der einen Funktion mit dem Definitionsbreich der anderen übereinstimmen muss, anscheinend habe ich das falsch im Kopf.

Das Problem ist, wenn man sowas versucht nachzschlagen, landet man nur bei fertigen FUnktionen und nicht bei Abbildungen.

02.05.2015, 16:14

Math1986

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Das stimmt soweit schon, aber der Wertebereich der ersten Funktion (rechts) muss mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmen, nicht andersrum.
Du willst schließlich den Wert aus der ersten Funktion in die zweite Funktion einsetzen und nicht andersrum.

Beispielsweise $\begin{align*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{align*}$ und $\begin{align*} g\colon\mathbb R\to\mathbb R^2 \end{align*}$ :
$\begin{align*} g\circ f\colon\mathbb R\to\mathbb R^2 \end{align*}$ existiert, $\begin{align*} f\circ g \end{align*}$ nicht.

02.05.2015, 16:34

Jefferson1992

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okay Danke.

Dann hätte ich also bei

$\begin{eqnarray*} g: R -> R² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h: R² -> R² \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f: R -> R \end{eqnarray*}$ folgende Möglichkeiten:

$\begin{eqnarray*} f \circ g \end{eqnarray*}$ existiert nicht
$\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ existiert
$\begin{eqnarray*} h \circ f \end{eqnarray*}$ existiert nicht
$\begin{eqnarray*} g \circ h \end{eqnarray*}$ existiert nicht
$\begin{eqnarray*} h \circ g \end{eqnarray*}$ existiert
$\begin{eqnarray*} h \circ h \end{eqnarray*}$ existiert

02.05.2015, 16:40

Math1986

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Das stimmt soweit (oben sah deine Funktion h aber noch anders aus)
Du hast aber auch nicht alle möglichen Kombinationen aufgezählt.

02.05.2015, 16:46

Jefferson1992

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Ja, ich habe einfach mal willkürlich welche rausgnommen, nur zm Verständnis.

Okay und wenn ich jetzt die Funktionen mit einer Vorschrift erweitere, so zum Beispiel

$\begin{eqnarray*} f: R-> R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x-3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g:R->R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(x)=(1, 2x-3) \end{eqnarray*}$

Dann kann ich ja $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ bilden.

$\begin{eqnarray*} g(f(x)= (1,2*(2x-3)-3)=(1, 4x-9) \end{eqnarray*}$

Wäre das so richtig?

02.05.2015, 16:54

Math1986

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Nein, wäre es nicht.
Du definierst:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f: R-> R² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x-3 \end{eqnarray*}$

f geht aber, wie man an der Abbildungsvorschrift sieht, in $\begin{align*} \mathbb R \end{align*}$ , nicht in $\begin{align*} \mathbb R^2 \end{align*}$ . Wenn man f also als $\begin{align*} f\colon\mathbb R\to\mathbb R \end{align*}$ betrachtet dann stimmt es.

02.05.2015, 17:01

Jefferson1992

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ach sorry. Ich meinte

$\begin{eqnarray*} f: R -> R \end{eqnarray*}$

okay. Alles klar. Dann war es ja richtig smile

Vielen Dank und schönes Wochenende noch smile

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